《小波分析》试题
适用范围：硕士研究生
时 间：2013年6月
一、名词解释（30分）
1、线性空间与线性子空间
解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。
2、基与坐标
解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （）。
an ...a a 11，，，3、内积
解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。
，()T n x x x x ,...,,21=
，令，称为x 与y 的内积。
()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间
解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。
线性（linearity ）：对任意
f ，
g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。
完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。
内积（inner
product ）：<f ，g>，它满足：，()T n f f f f ,...,,21=时。
()T n g g g g ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,22115、双尺度方程
解释：所以都可以用空间的一个1010,V W t V V t ⊂∈⊂∈）（）（ψϕ）
（）和（t t ψϕ1V
从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高以考虑。
分解的关系为 。
另外强调一点这112}0{)(+-+++++=j j j V V V R L 解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下再分解以此类推。
在理解多分解分析时，我们必须牢牢把握一点：其分解的最终目的
七、给出一个小波分析用于图像压缩的应用实例。
（10分）
答：图像压缩可按如下程序进行处理
clc
clear
X= imread ('5.jpg'); %读入图像
figure;
image(X);
title('原始图像');
disp('压缩前图像X的大小：');
whos('X')
[c,s]=wavedec2(X,3,'db5');
%对图像用db5小波进行3层小波分解
%取第二层低频高频系数
ca1=appcoef2(c,s,'db5',1);%提取低频系数
%提取小波分解结构中第一层低频系数和高频系数
ch1=detcoef2('h',c,s,1);%水平方向
cv1=detcoef2('v',c,s,1);%垂直方向
cd1=detcoef2('d',c,s,1);%斜线方向
%分别对各频率成分进行重构
a1=wrcoef2('a',c,s,'db5',1);
h1=wrcoef2('h',c,s,'db5',1);
v1=wrcoef2('v',c,s,'db5',1);
d1=wrcoef2('d',c,s,'db5',1);
c1=[a1,h1;v1,d1];
%显示分解后第一层各频率成分的信息
figure;
c1=uint8(c1);
image(c1);
title('分解后低频和高频信息');
%下面进行图像压缩处理
%保留小波分解第一层低频信息，进行图像的压缩
%第一层的低频信息即为ca1，显示第一层的低频信息
%首先对第一层信息进行量化编码
ca1=appcoef2(c,s,'db5',1);
ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0);
%改变图像的高度
ca1=0.25*ca1;
figure;
ca1=uint8(ca1*2.5);
image(ca1);
title('第一次压缩的图像');
disp('第一次压缩图像的大小为：');
whos('ca1')
%保留小波分解第二层低频信息，进行图像的压缩，此时压缩比更大%第二层的低频信息即为ca2，显示第二层的低频信息
ca2=appcoef2(c,s,'db5',2);
%首先对第二层信息进行量化编码
ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);
%改变图像的高度
ca2=0.125*ca2;
figure;
ca2=uint8(ca2*4.5);
image(ca2);
title('第二次压缩后的图像');
disp('第二次压缩图像的大小为：');
whos('ca2')
ca3=appcoef2(c,s,'db5',3);
%首先对第二层信息进行量化编码
ca3=wcodemat(ca3,440,'mat',0);
%改变图像的高度
ca3=0.125*ca3;
figure;
ca3=uint8(ca3*4.5);
image(ca3);
title('第三次压缩后的图像');
disp('第三次压缩图像的大小为：');
whos('ca3')
MATLAB显示结果
压缩前图像X的大小：
Name Size Bytes Class Attributes X 768x1024x3 2359296 uint8
第一次压缩图像的大小为：
Name Size Bytes Class Attributes ca1 388x516x3 600624 uint8
第二次压缩图像的大小为：
Name Size Bytes Class Attributes ca2 198x262x3 155628 uint8
第三次压缩图像的大小为：
Name Size Bytes Class Attributes
ca3 103x135x3 41715 uint8
8、在最佳小波包基的选择中，常常用到熵的概念，请写出本课程常用的四个熵标准的表达式。
（10分）
1.shannon(熵)：E(sc)=-si2log(si2)
2.Lp危数(1≤p≤2)；∑=
=
i p
p i
p s
x
E||
||
||
||
2
3.对数能量（logenergy）熵：E3(si)=log(si2)
4.阀值熵：如果｜si｜>e,则E4(si)=1;其余E4(si)=0 定义E4(si) =ΣE4(si),则E4(S)为信号大于阀值Σ得时间点和个数。