不确定度与数据处理一、 误差与不确定度1．误差与不确定度的关系（1）误差：测量结果与客观真值之差 ∆x =x -A其中A 称为真值，一般不可能准确知道，常用约定真值代替：⎪⎩⎪⎨⎧理论公式计算结果—理论值更高精度仪器测量结果—标准值如物理常数等—公认值对一个测量过程，真值A 的最佳估计值是平均值x 。

在上述误差公式中，由于A 不可知，显然∆x 也不可知，对误差的最佳估计值是不确定度u (x )。

（2）不确定度：对误差情况的定量估计，反映对被测量值不能肯定的程度。

通常所说“误差”一般均为“不确定度”含义。

不确定度分为A 、B 两个分量，其中A 类分量是可用统计方法估计的分量，它的主要成分是随机误差。

2．随机误差： 多数随机误差服从正态分布。

定量描述随机误差的物理量叫标准差。

（1）标准差与标准偏差标准差 kA x i k ∑-=∞→2)(limσ∵真值A 不可知，且测量次数k 为有限次 ∴ σ 实际上也不可知，于是：用标准偏差S 代替标准差σ ： 1)()(2--=∑k x x x S i ——单次测量的标准偏差结果表述： x i ± S (x ) （置信概率~68.3%）真值的估计值 单次测量标准差最佳估计值S (x )的物理意义：在有限次测量中，每个测量值平均所具有的标准偏差。

（并不是只做一次测量）通常不严格区分标准差与标准偏差，统称为标准差。

（2）平均值的标准差真值的最佳估计值是平均值，故结果应表述为： x ± S (x ) （置信概率~68.3%）平均值的标准差最佳估计值其中 )1()()(2--=∑k k x x x S i ——平均值的标准偏差例1：某观察量的n 次独立测量的结果是X 1, X 2, , X n 。

试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是样本标准偏差的n1，即nX S X S )()(=。

解： nX X i∑=由题知X i 相互独立，则根据方差合成公式有 nX u X u X u n )()()(212++=利用样本标准偏差的定义，可知 u (X i )=S (X ) i =1,2, ,n 故 nX S nX nS nX S X S X S X u )()()()()()(222==++==3．系统误差与仪器误差（限）（1）系统误差：在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可以预知方式变化的那一部分误差称为系统误差。

已被确切掌握了其大小和符号的系统误差，称为可定系统误差；对大小和符号不能确切掌握的系统误差称为未定系统误差。

前者一般可以在测量过程中采取措施予以消除或在测量结果中进行修正；而后者一般难以作出修正，只能估计出它的取值范围。

在物理实验中，对未定系统误差的估计常常利用仪器误差限来进行简化处理。

（2）仪器误差（限）：由国家技术标准或检定规程规定的计量器具的允许误差或允许基本误差，经过适当简化称为仪器误差限，用以代表常规使用中仪器示值和（作用在仪器上的）被测真值之间可能产生的最大误差。

常用仪器的仪器误差（限）：① 长度测量仪器：游标卡尺的仪器误差限按其分度值估计；钢板尺、螺旋测微计的仪器误差限按其最小分度的1/2计算。

② 指针式仪表： ∆仪＝a %⋅N m 式中N m 是电表的量程，a 是准确度等级。

数字仪表： △仪＝a %N x +b %N m 或 △仪＝a %N x +n 字式中a 是数字式电表的准确度等级，N x 是显示的读数，b 是误差的绝对项系数，N m 是仪表的满度值，n 代表仪器固定项误差，相当于最小量化单位的倍数。

③ 电阻箱： ∆仪＝∑+⋅ii i R R a 0%式中R 0是残余电阻，R i 是第i 个度盘的示值，a i 是相应电阻度盘的准确度级别。

④ 直流电位差计： △仪＝a % (10U U x +) 式中a 是电位差计的准确度级别，U x 是标度盘示值，U 0是有效量程的基准值，规定为该量程中最大的10的整数幂。

直流电桥： △仪＝a %(100RR x +)式中R x 是电桥标度盘示值，a 是电桥的准确度级别，R 0是有效量程的基准值，意义同上。

（3）B 类不确定度的处理在物理实验中，B 类不确定度的来源通常包括以下三种：仪器误差∆仪、灵敏度误差∆灵和估计误差限∆估。

其中灵敏度误差可表示为 xn S ∆∆==∆/2.02.0灵 。

B 类不确定度与各种误差限之间的关系为 3∆=b u 。

4．不确定度的合成（1）直接测量 x ： u a (x ) ，u b (x )则 )()()(22x u x u x u b a += （称为合成不确定度）（2）间接测量 y =f (x 1, x 2, ⋯, x n ) 其中x 1, x 2, ⋯, x n 为相互独立的直接测量量 则 ∑∂∂=ii i x u x f y u )()()(22 或 ∑∂∂=ii i x u x f y y u )()ln ()(22 （3）最终结果表述形式： N ±u (N )= （单位）结果有效数字的确定原则：① 不确定度u (N )只保留一位有效数字；② 测量结果N 与不确定度u (N )小数位数对齐。

例2：用分光计测棱镜材料的折射率公式为2sin 2sinA A n δ+=。

已测得A =60︒0' ±2' ，黄光（汞灯光源）所对应的 δ=50︒58' ±3' ，则黄光所对应的折射率n ±u (n )= 1.6479±0.0007 。

解： 6479.12060sin 28550060sin2sin 2sin ='︒'︒+'︒=+=A A n δ 2sin ln 2sin ln ln A A n -+=δδδδδδδd 2ctg 21d )2ctg 2ctg (212sind 212cos 2sin )d 21d 21(2cos d ++-+=⋅-+++=A A A A A A A A A A n n 000426.0)180603(28550060ctg 41)180602()2060ctg 28550060ctg (41)(2ctg 41)()2ctg 2ctg (41)(22222222=⨯'︒+'︒+⨯'︒-'︒+'︒=++-+=ππδδδ u A A u A A n n u0007.0000426.06479.1)()(=⨯=⋅=nn u n n u ∴ n ± u (n )=1.6479±0.0007 5．有效数字及其运算法则（1）有效数字：由若干位可靠数字加一位可疑数字构成。

在不计算不确定度的情况下，结果的有效数字由运算法则决定。

（2）运算法则① 加减法：以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准并与之取齐。

N =A +B -C -D ，则 )()()()()(2222D u C u B u A u N u +++=取决于u (A )、u (B )、u (C )、u (D )中位数最高者，最后结果与之对齐。

② 乘除法：以参加运算各量中有效数字最少的为准，结果的有效数字个数与该量相同。

CD ABN =，则 2222)()()()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D D u C C u B B u A A u N N u 取决于其中相对不确定度最大者，即有效数字个数最少者。

③ 混合四则运算按以上原则按部就班执行。

例3：某物理量的计算公式为 Hd Y /6.11k+=，其中k 为常数，1.6为准确数，H ≈16cm ，d =0.1500cm 。

若使Y 的表示式中分母的值具有4位有效数字，正确测H 的方法是（ d ）。

(a) 用游标卡尺估读到cm 千分位 (b) 用米尺估读到cm 百分位 (c) 用米尺只读到mm 位 (d) 用米尺只读到cm 位解：015.0161500.06.16.1=⨯≈H d 分母 015.16.11≈+Hd为4位有效数字 即H 只需2位有效数字即可，故应选 (d) 。

④ 特殊函数的有效数字：根据不确定度决定有效数字的原则，从不丢失有效位数的前提出发，通过微分关系传播处理。

例4： tg45︒2' =1.00116423 最多可取几位有效数字？解： 令 y =tg x ，其中x =45︒2' 取)rad (00029.01806011=='=∆πx则 00058.000029.0245cos 1cos 122=⨯'︒=∆=∆x x y 即小数点后第四位产生误差 ∴ tg45︒2' =1.0012 ，有五位有效数字。

例5：双棱镜测波长的计算公式为b b x '∆=λ，对实验数据进行处理的计算结果如下表所示。

注：下标1代表来自方法误差，下标2代表来自仪器误差。

要求：（1）给出测量结果的正确表述（包括必要的计算公式）。

（2）定量讨论各不确定度的分量中，哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是可以忽略的？如果略去次要因素和可以忽略项的贡献，不确定度的计算将怎样简化？结果如何？解： （1） mm 1086716.5)0.7595.276(7855.09325.528144.04-⨯=+⨯⨯='+'∆=S S b b x λ )ln(ln 21ln 21ln ln S S b b x '+-'++∆=λ S S S S S S b b b b x x '+'-'+-''++∆∆=d d 2d 2d )(d d λλ0111.0)()(2)(2)()()(22222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆=S S S u S S S u b b u b b u x x u u λλ 其中 000714.028144.010010.2)(4=⨯=∆∆-x x u ；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯=∆===∆⨯=∆=000243.039325.52005.023/)(2)(00722.032025.0)(32123/)(2)(22111b b bb u b b b b b b u 222122)(2)(2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→b b u b b u b b u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯=''∆=''==''∆⨯=''∆=''00184.037855.02005.023/)(2)(00722.032025.0)(32123/)(2)(22111b b b b u b b b b b b u 222122)(2)(2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→b b u b b u b b u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='+∆='+=+='+∆='+000279.03)90.7565.27(05.03/)()(00279.03)90.7565.27(5.03/)()(2211S S S S S S u S S S S S S u 22212)()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+→S S S u S S S u S S S u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='+'∆='+'=+='+'∆='+'000279.03)90.7565.27(05.03/)()(00279.03)90.7565.27(5.03/)()(2211S S S S S S u S S S S S S u 22212)()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'→S S S u S S S u S S S u 于是得 u (λ)=0111.01086716.5)(4⨯⨯=⋅-λλλu =6.53⨯10-6mm λ± u (λ)=587±7nm（2）由前面的计算可知，不确定度主要来自b b u 2)(1和b b u ''2)(1，次要因素是b b u ''2)(2、S S S u '+)(1和SS S u '+')(1，可以忽略的因素是xx u ∆∆)(、b b u 2)(2、S S S u '+)(2和S S S u '+')(2。