组合教学目标： 1、理解组合的概念，正确区分排列、组合问题；2、掌握组合数的计算公式；3、通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；教学内容：组合的概念及组合数的计算方法 教学重点：组合的概念、组合数 教学难点：解组合的应用题 教学方法：排列与组合结合法 教学过程设计 一、知识回顾 1、排列的概念一般地，从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
2、排列数概念一般地，从n 个不同的元素中每次取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，称为从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列数，记作mn A 。
3、排列数计算公式：(1)(2)(1)()mn A n n n n m m n =---+≤!nn A n =()!!m n n A n m =-二、学习新课课题引入：通过上节课研究排列的问题出发，对比引出另一种与排列不同的计数方法，即组合。
【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出1名班长，一名副班长，共有多少种不同的选法？(若把问题改为从甲、乙、丙3名同学中选出2名担任班委，共有多少种不同的方法？该问题与原问题有何区别？)解：原问题是上节课学习的排列数的问题，排列数为23A ，对应的排列为： 甲 乙 乙 甲 甲 丙 丙 甲丙 乙 乙 丙 变化后的问题对应的可能情况为： 甲 乙 甲 丙丙 乙分析：与排列不同的是，这个问题是从3个不同的元素中取出2个，而取出的这两个元素是一个组合，没有顺序。
这就是本节课研究的另外一个计数问题，组合问题（引出组合的概念） 组合一般地，从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
分析：对比排列和组合的定义，同样是从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，而排列是把取出的m 个元素按照一定的顺序排成一列，也就是说排列与元素的顺序有关，而组合单单是把取出的m 个元素并成一组，与元素的顺序无关。
组合数同样地类似于排列，我们研究从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的组合共有多少个，这类计数问题叫做组合问题，相应的组合数记为mn C 。
【问题2】从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个，共有多少种不同的排列？（若改为从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个，共有多少种不同的组合？）解：原问题为从三个不同的元素中每次取出两个元素的排列问题，排列数为23A ，对应的排列为：ab ba ac ca bc cb变化后的问题为从三个不同的元素中取出两个元素的组合问题，组合数为23C ，对应的组合为：abac bc总结：通过问题1与问题2可以看出，给出一个问题，如果与顺序有关，则是排列问题，若果与顺序无关，则是组合问题。
通过例题讲解区分排列与组合问题。
【例1】判断下面问题是排列问题，还是组合问题？(1) 从6个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？(2) 从6个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 解：(1)选出的2个风景点，不必明确游览顺序，这是一个组合问题，对应的组合数为26C （先标记在后面，一会再求解）。
(2)选出的2个风景点，必须明确游览顺序，这是一个排列问题，对应的排列数为26A （学生求解排列数26A ，复习巩固上节课排列数的计算公式）。
课堂练习：书55页课后练习题3(1)8名同学聚会，每两人握手一次，共握手多少次？解：与顺序无关，因此是组合问题，组合数为28C （先标记在后面，一会再求解）。
(2)6名同学约定元旦互送贺卡一张，共寄多少张?解：甲→乙贺卡与乙→甲贺卡代表的意义不一样，因此有顺序性，是排列问题，排列数为26A （学生计算，使学生熟练掌握排列数的计算公式）(3)某铁路沿线有5个站，需要准备多少种车票？有多少种不同的票价？解：第一个问题车票种数：南通→南京与南京→南通为两种不同的车票，有顺序性，是排列问题，排列数为25A （学生求解）；第二个问题票价问题：南通→南京与南京→南通车票的票价是一样的，没有顺序性，是组合问题，组合数为25C （标记在后面，一会再求解）。
(4)平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段(有向线段)共有多少条？解：线段AB 与线段BA 为两条相同的线段，因此没有顺序性，是组合问题，组合数为210C （标记在后面，一会再求解）；有向线段（有方向的线段，即：有向线段AB 与有向线段BA 是两条不同的线段），因此有顺序性，是排列问题，排列数为210A （学生计算）。
组合数计算公式思考：排列数有相应的计算公式，那上面标记的组合数该如何计算呢？回到问题2，从三个不同的元素,,a b c 中每次取出2个的排列与组合的关系如图：23A ：ab ba 22Aab 23Cac ca acbc cb bc从图中关系可以看出组合共有23C 个；将每一个组合中的元素进行全排列，均有22=2A 个排列；因此，从3个不同的元素中取出2个元素的排列数23A ，可以分成以下两个步骤来完成： 第一步：从3个不同的元素中取出2个元素的组合数为23C ；第二步：对每一个组合中的2个不同的元素进行全排列，其排列数为22A 。
根据分步乘法原理，得222332A C A =⨯从而有 223322=A C A（从特殊回到一般）一般地，从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数也可以按以上两个步骤来完成，即m m m n n m A C A =⨯由此得到组合数计算公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==由于()!!mn n A n m =-，所以组合数公式还可以表示为!!()!mn n C m n m =-（其中，,n m N *∈，m n ≤）由于计算需要，规定 01n C =【例2】计算710C解：由组合公式得77101077109876541207654321A C A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯课堂练习通过组合公式的推导及例题2的讲解，请学生将之前标记过的组合数在练习本上求解（并请4名同学上黑板演示求解过程，同时检查其他同学掌握程度）1、226622651521A C A ⨯===⨯2、228822872821A C A ⨯===⨯3、225522541021A C A ⨯===⨯4、221010221094521A C A ⨯===⨯习题讲解，提出计算组合数需要注意3点： 1、 公式不要列错； 2、 项不要列错；3、 计算不要马虎。
【例3】一批产品20件，其中有2件次品，其余均为正品，从20件产品中任意抽取3件进行检验，问：分析：通过画图进行图形结合法，如图(1)共有多少种不同的抽法？分析：从20件产品中任意抽取3件，没有特殊要求，因此不用考虑特殊情况，不同的抽法等于组合数。
解：332020332019181140321A C A ⨯⨯==⨯⨯(2)恰有一件次品的不同抽法有多少种？分析：抽取的3件产品中恰有一件次品可以分两步来完成： 第一步：从2件次品中任意抽取1件，有12C 种不同的抽法； 第二步：从18件正品中任意抽取2件，有218C 种不同的抽法。
根据分步乘法原理，所有的抽法种数为解：2112182218121221817306121A A C C A A ⨯⨯=⨯=⨯=⨯(3)全是正品的不同抽法有多少种？分析：抽取的3件产品全是正品，即从18件正品中任意抽取3件，不同的抽法为解：33181833181716816321A C A ⨯⨯===⨯⨯(4)至多有一件次品的不同抽法有多少种?分析：抽取的3件产品至多有1件次品，包含几类情况？（解释至多的概念，并与学生一起分析包含几类情况）第一类：3件产品中没有次品，即从18件正品中任意抽取3件，不同的抽法为318C 第二类：3件产品有一件次品，问题回到第2题中，分两步来完成，不同的抽法有12218C C ⨯ 根据分类加法原理，不同的抽法总数为解：2311231818221818123123218171817168163061122121321A A A C C C A A A ⨯⨯⨯+=⨯+=⨯++=⨯⨯⨯(5)至少有一件次品的不同抽法有多少种？分析：抽取的3件产品中至少有一件次品，包含几类情况？（解释至少的概念，并与学生一起分析包含几类情况）第一类：3件产品中有一件次品，回到第二题中，分两步来完成，不同的抽法有12218C C ⨯；第二类：3件产品中有两件次品，分两步来完成，不同的抽法有21218C C ⨯（请同学思考，借鉴第二题给出）根据分类加法原理，所有的抽法总数为解：21121221181822218218122112212181718306183241211A A A A C C C C A A A A ⨯+=⨯+⨯=⨯+=+=⨯三、课堂小结： 1、组合的概念； 2、组合数的概念； 3、组合数的计算公式；4、区分排列问题与组合问题；5、根据组合公式求解组合应用题。
四、课后作业书58页练习1、2、3；书60页习题A 组2。