（第7题图）ABCD GFE（第5题图） 全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填均得0分）1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。

刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）A 、36B 、37C 、55D 、902、已知21+=m ，21-=n ，且()()876314722=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ）A 、5-B 、5C 、9-D 、9 3、ABC Rt ∆的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴。

若斜边上的高为h ，则（ ）A 、1 hB 、1=hC 、21 hD 、2 h 4、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）A 、2004B 、2005C 、2006D 、20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC的值为（ ） A 、132- B 、32 C 、23+ D 、23+二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6、已知a ，b ，c 为整数，且2006=+b a ，2005=-a c ．若b a ，则c b a ++的最大值为 ．7、如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 ．8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上。

9、已知10 a ，且满足183029302301=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a a ，则[]a 10的值等于 ．([]x 表示不超过x 的最大整数)10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11、已知ab x =，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且8≤a ，1312-- x ．（1）试写出一个满足条件的x ；（2）求所有满足条件的x ．12、设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式： 14162222++=+a a c b ①和542--=a a bc ② 求a 的取值范围。

13、如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：KB CE AC PE ⋅=⋅．14、10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中。

求n的最小值。

全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填均得0分）1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。

刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）A 、36B 、37C 、55D 、90 答案：C解析：因为4和9的最小公倍数为36，553619=+，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处。

故选C ．2、已知21+=m ，21-=n ，且()()876314722=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ）A 、5-B 、5C 、9-D 、9答案：C解析：由已知可得122=-m m ，122=-n n 又()()876314722=--+-n n a m m 所以()()8737=-+a ，解得9-=a 故选C ．3、ABC Rt ∆的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴。

若斜边上的高为h ，则（ ）A 、1 hB 、1=hC 、21 hD 、2 h 答案：B解析：由已设点A 的坐标为（a ，2a ），点C 的坐标为（c ，2c ）（||||a c ），则点B 的坐标为（a -，2a ），由勾股定理，得()()22222a c a c AC -+-=，22222)()(a c a c BC -++=，222AB BC AC =+所以()22222c a c a -=-．由于22c a ，所以122=-c a ，故斜边AB 上高122=-=c a h 故选B ．（第5题图）4、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）A 、2004B 、2005C 、2006D 、2007 答案：B解析：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加︒360．于是，剪过k 次后，可得（1+k ）个多边形，这些多边形的内角和为()︒⨯+3601k .因这（1+k ）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为()︒⨯⨯=︒⨯-⨯180603418026234，其余多边形有()33341-=-+k k (个)，而这些多边形的内角和不少于()︒⨯-18033k ．所以()()︒⨯-+︒⨯⨯≥︒⨯+1803318060343601k k ，解得2005≥k ．当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形。

再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形。

于是共剪了200558333358=⨯++（刀）故选B ．5、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC的值为（ ） A 、132- B 、32 C 、23+ D 、23+ 答案：D解析：如图，设⊙O 的半径为r ，m QO =，则m QP =，m r QC +=，m r QA -= 在⊙O 中，根据相交弦定理，得QD QP QC QA ⋅=⋅ 即()()QD m m r m r ⋅=+-所以mm r QD 22-=．连结DO ，由勾股定理，得222QO DO QD +=即 22222m r mm r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 解得r m 33=（第7题图）A BD GFE 所以 231313+=-+=-+=mr m r QAQC故选D ．二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6、已知a ，b ，c 为整数，且2006=+b a ，2005=-a c ．若b a ，则c b a ++的最大值为 ．答案：5013．解析：由2006=+b a ，2005=-a c ，得 4011+=++a c b a因为2006=+b a ，b a ，a 为整数，所以，a 的最大值为1002 于是，c b a ++的最大值为5013．7、如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 ．答案：320-解析：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则342=m由ADG ∆∽ABC ∆，可得m xm m x 2323-=，解得()m x 332-= 于是()48328332222-=-=m x ，由题意，28=a ，3=b ，48=c ，所以320-=-bc a8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上。

答案：104解析：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了x x 3685040046=⨯米．于是()()40014008001368 --+-x x所以，5.135.12 x ≤故13=x ，此时1045013400=⨯=t9、已知10 a ，且满足183029302301=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎦⎤⎢⎣⎡++⎦⎤⎢⎣⎡+a a a ，则[]a 10的值等于 ．([]x 表示不超过x 的最大整数)答案：6．解析：因为230293023010 +++a a a ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡+301a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+302a ，…，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+3029a 等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以03011302301=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a a ，1302930133012=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a a 所以 130110 +a ，230121 +≤a故193018 a ≤，于是319106a ≤，所以[]610=a ． 10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．答案：282500解析：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为bcdef a 82．根据题意，有abcdef ⨯81bcdef a 82=．记f e d c b x +⨯+⨯+⨯+⨯=10101010234 于是x a x a +⨯+⨯=+⨯⨯6551010208811081， 解得()a x 712081250-⨯=因为5100 x ≤，所以()5107120812500 a -⨯≤，故7120871128≤a因为a 为整数，所以2=a ．于是()825002712081250=⨯-⨯=x 所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11、已知ab x =，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且8≤a ，1312-- x ．（1）试写出一个满足条件的x ； （2）求所有满足条件的x ．解：（1）21=x 满足条件． ……………5分（2）因为ab x =，a ，b 为互质的正整数，且8≤a ，所以1312--ab， 即()()a b a 1312--当1=a 时，()()113112⨯-⨯- b ，这样的正整数b 不存在当2=a 时，()()213212⨯-⨯- b ，故1=b ，此时21=x当3=a 时，()()313312⨯-⨯- b ，故2=b ，此时32=x当4=a 时，()()413412⨯-⨯- b ，与a 互质的正整数b 不存在 当5=a 时，()()513512⨯-⨯- b ，故3=b ，此时53=x当6=a 时，()()613612⨯-⨯- b ，与a 互质的正整数b 不存在 当7=a 时，()()713712⨯-⨯- b ，故3=b ，4，5此时73=x ，74，75当8=a 时，()()813812⨯-⨯- b ，故5=b ，此时85=x所以，满足条件的所有分数为21，32，53，73，74，75，85．………………15分12、设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式： 14162222++=+a a c b ①和542--=a a bc ② 求a 的取值范围。