50x＋40y≤2 000 答案 x∈ N＋
y∈ N＋
考向一 二元一次不等式 ( 组) 表示的平面区域
【例 1】?(2011 ·湖北 )直线 2x＋y－10＝0 与不等式组
x≥0 y≥0， x－y≥－ 2， 4x＋3y≤20
表示的平
面区域的公共点有 ( )． A． 0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个
解读 法一 特殊值验证：当 y＝ 1， x＝0 时， x＋2y＝2，排除 A ， C；当 y＝－
1，x＝0 时， x＋ 2y＝－ 2，排除 D，故选 B.
法二 直接求解：如图，先画出不等式 |x|＋|y|≤1 表示的平面区域，易知当直线
x＋2y＝ u 经过点 B，D 时分别对应 u 的最大值和最小值，所以 umax＝2，umin＝－ 2. 答案 B 5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成． 请木工需付工资每人 50 元，请 瓦工需付工资每人 40 元，现有工人工资预算 2 000 元，设木工 x 人，瓦工 y 人， 请工人的约束条件是 ________．
第 3 讲 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题
1．考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值 (或取值范围 )． 2．考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围． 【复习指导】 1．掌握确定平面区域的方法 (线定界、点定域 )． 2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法 (图解法 )，注意线 性规划问题与其他知识的综合．
线性目标函数
目标函数是关于变量的一次函数
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标
在线性约束条件下， 求线性目标函数的最大值或最小值 线性规划问题
问题
一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时， 经常采用 “直线定界， 特殊点定域 ”的
方法．
双基自测
1．(人教 A 版教材习题改编 )如图所示的平面区域 (阴影部分 )，用不等式表示为 ( )．
A． 2x－y－3＜0 B．2x－ y－3＞0 C． 2x－y－3≤0 D． 2x－y－3≥0 解读 将原点 (0,0)代入 2x－y－3 得 2×0－0－3＝－ 3＜0，所以不等式为 2x－y
－ 3＞ 0. 答案 B 2．下列各点中，不在 x＋y－1≤0 表示的平面区域内的点是 ( )． A． (0,0) B． (－1,1) C．(－ 1,3) D．(2，－ 3) 解读 逐一代入得点 (－1,3)不在 x＋ y－ 1≤ 0 表示的平面区域内． 答案 C 3．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是 ( )．
x＋y－1≥0
x＋y－1≤ 0
A.
B.
x－2y＋ 2≥ 0 x－2y＋2≤0
x＋y－1≥0
x＋y－1≤ 0
C.
D.
x－2y＋ 2≤ 0 x－2y＋2≥0
解读 两条直线方程为： x＋ y－1＝0，x－2y＋2＝0.
将原点 (0,0)代入 x＋ y－1 得－ 1＜0， 代入 x－2y＋ 2 得 2＞0，
(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，
把直线画成实线．
(2)特殊点定域，即在直线 Ax＋By＋C＝0 的某一侧取一个特殊点 (x0，y0)作为测
试点代入不等式检验， 若满足不等式， 则表示的就是包括该点的这一侧， 否则就
表示直线的另一侧．特别地，当 C≠0 时，常把原点作为测试点；当 C＝0 时，
所以，只需在直线 l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点 (x0，y0)，从 ax0＋by0 ＋ c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．
(2)由于对直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点 (x，y)，把它的坐标 (x，y)代入 Ax ＋ By＋C 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点
(2)求二元一次函数 z＝ax＋ by(ab≠0)的最值，将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜
az
z
截式： y＝－ bx＋b，通过求直线的截距 b的最值间接求出 z 的最值．要注意：当 b
z
z
＞ 0 时，截距 b取最大值时， z 也取最大值；截距 b取最小值时， z 也取最小值；当
z
z
b＜0 时，截距 b取最大值时， z 取最小值；截距 b取最小值时， z 取最大值．

即点 (0,0)在 x－2y＋2≥0 的内部， 在 x＋y－ 1≤ 0 的外部，
x＋ y－1≥0， 故所求二元一次不等式组为
x－ 2y＋2≥0.
答案 A 4．(2011 ·安徽 )设变量 x，y 满足 |x|＋|y|≤1，则 x＋ 2y 的最大值和最小值分别为
( )． A． 1，－ 1 B．2，－ 2 C． 1，－ 2 D．2，－ 1
基础梳理
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，直线 l： ax＋by＋ c＝ 0 把直角坐标平面分成了三个部分：
①直线 l 上的点 (x，y) 的坐标满足 ax＋by＋c＝0；
②直线 l 一侧的平面区域内的点 (x， y)的坐标满足 ax＋by＋ c＞ 0；
③直线 l 另一侧的平面区域内的点 (x，y)的坐标满足 ax＋by＋c＜0.
(x0，y0)，由 Ax0＋ By0＋C 的符号即可判断 Ax＋ By＋C＞ 0 表示直线 Ax＋By＋ C ＝ 0 哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
名称
意义
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
约束条件
目标函数中的变量所要满足的不等式组
线性约束条件
由 x，y 的一次不等式 (或方程 )组成的不等式组
[ 审题视点 ] 准确画出不等式组所表示的平面区域， 比较直线 2x＋y－ 10＝0 与 4x
＋ 3y－20＝ 0 的斜率即可判断．
常选点 (1,0)或者 (0,1)作为测试点． 一个步骤 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 两个防范 (1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．