A2
A1

Ae
A2
C12 A2
C12

A1 A2 A2 2

A1 A2
A2 A2
C12表明了两个矢量的相似程度 大小和方向
两矢量互相垂直时有 C12 0
信号与系统分析（第2版）电子教案
90o
7
A1和A2无法相互表示
3.1 信号的能量与功率
2. 信号的正交分解
②、误差矢量的解析表示
① 用实信号x2(t)来逼近实信号x1(t)，
即 x1(t) C12x2 (t) xe (t) C12x2 (t) t1 t t2
误差
xe (t) x1 (t) C12 x2 (t)
② 使误差信号能量W获得极小值的C12
W t2 xe2 (t)dt t2 x1 (t) C12 x2 (t) 2 dt
5
3.1 信号的能量与功率
1. 能量信号与功率信号
1.能量信号与功率信号
任何信号通过系统时都伴随着一定能量或功率的传输， 表明信号具有能量或功率特性。
将信号 x(t)施加于 1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为 x(t)，2 则定义：
信号的能量
W
x(t) 2 dt
信号的功率 P 1
T
k1 两矢量互相垂直时有
误差矢量最 小的解析解
C12

A1k A2k
k 1
2
A22k

A1 A2 A2 A2
C12 0 内积 A1 A2 0
k 1
此结果可推广到任意维
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8
3.1 信号的能量与功率
（2）、信号的正交分解
2. 信号的正交分解
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
—— 傅里叶的第二个主要论点
信号与系统分析（第2版）电子教案
2
3. 傅里叶分析的工程意义
（1）傅里叶分析的基本信号单元
① ejt cost jsin t是LTI系统的特征函数，
响应易求且简单。 ②各种频率的正弦信号的产生、传输、分离和变换 容易工程实现。 ③正弦量只需三要素即可描述，LTI系统的输入和 输出的差别只有两要素，即系统的作用只改变信号 的振幅和相位。
电子教案目录
第3章 频域分析
➢ 3.1 信号的能量和功率
➢ 3.2 周期信号的傅里叶级数与频谱
➢ 3.3 傅里叶变换
➢ 3.4 傅里叶变换的性质
➢ 3.5 周期信号的傅里叶变换
➢ 3.6 频率响应函数与理想滤波器
➢ 3.7 抽样定理
➢ 3.8 幅度调制、解调与多路复用
信号与系统分析（第2版）电子教案
④ 正交函数集（n维）
如果在区间t1 ,t2 内，函数集r t r 1,2, ,n 满足以下关系
t2 t1
i
(t) j
(t)dt

0
t2 t1
信号与系统分析（第2版）电子教案
3
（2）适用于广泛的信号 由虚指数或正弦信号的线性组合可以组成工程中各
种信号，使得对任意信号作用下的LTI系统进行频域 分析成为一件容易的事情。
（3）频域分析的优势
①任意信号分解成不同频率虚指数（正弦）信号的线 性组合，分析LTI系统对这些不同频率单元信号作用 的响应特性的过程就是频域分析。
2
Ae 2 ( A11 C12 A21) 2 ( A12 C12 A22 ) 2 ( A1k C12 A2k ) 2
使误差取极小值的 C12 应满足
k 1

C12
2
( A1k
k 1
C12 A2k )2
2
0
2
(2 A1k A2k 2C12 A22k ) 0
②频率分析可以方便求解系统响应。 例如相量法。
③频域分析的结果具有明显的物理意义，例如抽样 定理和无失真传输概念都是频域分析的结果。
④可直接在频域内子教案
4
3.1 信号的能量与功率
➢ 1.能量信号与功率信号 ➢ 2.信号的正交分解
信号与系统分析（第2版）电子教案
1
1. 傅里叶生平
• 1768年生于法国
引言
• 1807年提出“任何周期信号都可用正
弦函数级数表示”
• 拉格朗日反对发表
• 1822年首次发表在“热的分析理论”
一书中
• 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件
2. 傅立叶的两个最主要的贡献
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”
—— 傅里叶的第一个主要论点

C12
t2 t1
C12
t1
t1
x1
(t) C12 x2
t2 t1
x1 (t)x2
(t) 2 dt (t)dt

t2 t1
x
2 2
(t)dt

t2
0
t1
类似于

x1 (t)x2 (t) C12 x22 (t) dt
2
C12
A1k A2k
k 1
2
A22k

A1 A2 A2 A2

0
③ 信号正交条件
k 1
C12
t2 t1
x1(t)x2 (t)dt
t2 t1
x22
(t)dt

0
即
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t2 x1 (t)x2 (t)dt 0 t1
3.1 信号的能量与功率
2. 信号的正交分解
2
x(t) dt

T0
能量信号：信号的能量有限，即 W , P 0
具有有限幅值的时限信号都是能量信号。
功率信号：信号的功率有限，即 P ,W 具有有限值的周期信号都是功率信号。
信号与系统分析（第2版）电子教案
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3.1 信号的能量与功率
2. 信号的正交分解
2.信号的正交分解
（1）、矢量的正交分解
①、正交矢量——相互垂直的两个矢量 两个矢量A1和 A2，若想用C12A2近似A1，有
A1 C12 A2 Ae
A1

Ae A2
C12 A2
A1

Ae A2
C12 A2
误差矢量 最小的几
何解
A1 A2 A1 A2 cos
A1
cos

A1 A2 A2
C12
令平面（2维）直角坐标系坐标轴的单位矢量分别为 e x 和 e y
则 A1与 A2就可表示为
A1 A11e x A12e y
A1 A11e x A12e y
A2 A21e x A22e y
Ae A1 A2C12AA212ex ( AA1212eyC12 A21)e x ( A12 C12 A22 )e y