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椭圆的常见题型及解法(一).

椭圆的常见题型及其解法(一)椭圆是圆锥曲线的内容之一,也是高考的热点和重点,椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习,笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨,希望对学习椭圆的同学有所帮助.一、椭圆的焦半径椭圆上的任意一点到焦点F 的长称为此曲线上该点的焦半径,根据椭圆的定义,很容易推导出椭圆的焦半径公式。

在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时,用焦半径公式解题可以简化运算过程。

1.公式的推导设P (,)是椭圆上的任意一点,分别是椭圆的左、右焦点,椭圆,求证,。

证法1:。

因为,所以∴又因为,所以∴,证法2:设P 到左、右准线的距离分别为,由椭圆的第二定义知11PF e d ,又,所以,而。

∴,。

2.公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A ()、B ()、C ()到焦点F (4,0)的距离成等差数列,则12x x + .解:在已知椭圆中,右准线方程为254x =,设A 、B 、C 到右准线的距离为,则、、。

∵,,,而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。

∴,即,。

例 2.12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点,P 是椭圆上的动点,求的最大值和最小值。

解:设,则1020332,2.22PF x PF x =+=-212034.4PF PF x ⋅=-P 在椭圆上,022x ∴-≤≤,12PF PF ⋅的最大值为4,最小值为1.变式练习1:. 求过椭圆的左焦点,倾斜角为的弦AB 的长度。

解:由已知可得,所以直线AB 的方程为,代入椭圆方程得设,则,从而变式练习2. 设Q 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点,求证:以2QF (或1QF )为直径的圆C 与以长轴为直径的圆相内切。

证明:设,圆C 的半径为r即也就是说:两圆圆心距等于两圆半径之差。

故两圆相内切 同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。

3.椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点,E 、F 是左、右焦点,PE 与x 轴所成的角为α,PF 与x 轴所成的角为β,c 是椭圆半焦距,则(1)||cos PE b a c =-2α;(2)||cos PF b a c =+2β。

P 是椭圆y a x b a b 222210+=>>()上一点,E 、F 是上、下焦点,PE 与x 轴所成的角为α,PF 与x 轴所成的角为β,c 是椭圆半焦距,则(3)||sin PE b a c =+2α;(4)||sin PF b a c =-2β。

证明:(1)设P 在x 轴上的射影为Q ,当α不大于90°时,在三角形PEQ 中,有||||||cos PE cx PE EQ P +==α 由椭圆焦半径公式(1)得 ||PE a ex P =+。

消去x P 后,化简即得(1)||cos PE b a c =-2α。

而当α大于90°时,在三角形PEQ 中,有||||||)cos(PE x c PE EQ P--==-απ ⇒=+cos ||αx cPE P , 以下与上述相同。

(2)、(3)、(4)的证明与(1)相仿,从略。

4.变式的应用对于椭圆的一些问题,应用这几个推论便可容易求解。

例1. (2005年全国高考题)P 是椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一点,E 、F 是左右焦点,过P 作x 轴的垂线恰好通过焦点F ,若三角形PEF 是等腰直角三角形,则椭圆的离心率是___________。

解:因为PF ⊥EF ,所以由(2)式得 ||cos PF b a c b a=+=2290°。

再由题意得2222220222||||e a ac c ac c a ab c PF EF ⇒=-+⇒=-⇒=⇒=+210e -=。

注意到0121<<=-e e 解得。

例2. P 是椭圆x y 22100641+=上且位于x 轴上方的一点,E ,F 是左右焦点,直线PF 的斜率为-43,求三角形PEF 的面积。

解:设PF 的倾斜角为β,则:tan cos sin βββ=-=-=4317437,,。

因为a =10,b =8,c =6,由变式(2)得||()PF =+-=81061772× 所以三角形PEF 的面积32473462721sin ||||21===××××βEF PF S 变式训练1.经过椭圆x a y ba b 222210+=>>()的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ,B 两点,若||||AF BF 112=,求椭圆的离心率。

解:由题意及变式(2)得b ac b a 2260260180-=-+cos cos()°×°°化简得2123223a c a c c a e c a -=+⇒=⇒==。

变式训练2.设F 是椭圆x y 2221+=的上焦点,PF FQ →→与共线,MF FN →→与共线,且PF MF →→·=0。

求四边形PMQN 面积的最大值和最小值。

解:设PF 倾斜角为α,则由题意知PF ⊥MF ,所以MF 倾斜角为90°+α,而a b c ===211,,,由题意及(3)式得||||||sin sin()sin PQ PF FQ =+=-+-+=-12121802222ααα° 同理得||cos MN =-2222α。

由题意知四边形PMQN 面积S PQ MN =12|||| αααααααα4cos 17322sin 816cos sin 4816cos sin 24cos 222sin 222212222222-=+=+=+=--=·· 当cos41α=时,S max =-=321712;当cos41α=-时,S min ()=--32171=169。

二 椭圆的焦点弦设椭圆方程为22222221(0,)x y a b c a b a b+=>>=-过椭圆右焦点且倾斜角为()2πθθ≠的直线方程为sin ()cos y x c θθ=-,此直线交椭圆于,A B 两点,求焦点弦AB 的长.例1、已知椭圆的长轴长AB 8=,焦距21F F =24,过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点,设X PF 1∠=α)0(πα<<,当α取什么值时,PQ 等于椭圆的短轴长?分析:由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦,且4=a ,22=c ,从而22=b ,故由焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及题设可得:24cos 816)22(4222=-⨯⨯α,解得αcos ±=22-,即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。

例2、在直角坐标系中,已知椭圆E 的一个焦点为F (3,1),相应于F 的准线为Y 轴,直线l 通过点F ,且倾斜角为3π,又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516,求椭圆E 的方程。

分析:由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2222=-+--b y a c x ,又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴,故有32+=c ca (1), 又由焦点弦长公式有3cos 22222πc a ab -=516(2)又 222c b a += (3)。

解由(1)、(2)、(3)联列的方程组得:42=a ,32=b ,1=c ,从而所求椭圆E 的方程为13)1(4)4(22=-+-y x 。

变式训练1、已知椭圆C :12222=+by a x (0>>b a ),直线1l :1=-b ya x 被椭圆C截得的弦长为22,过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的52,求椭圆C 的方程。

分析:由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点,故有822=+b a , (1)又由焦点弦长公式得θ2222cos 2c a ab -=54a , (2) 因tan θ=3,得3πθ=,(3) 又 222c b a += (4)。

解由(1)、(2)、(3)、(4)联列的方程组得:62=a ,22=b ,从而所求椭圆E 的方程为12622=+y x 。

例3.已知椭圆22132x y +=的左右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线交椭圆于,B D 两点,过2F 的直线交椭圆于,A C 两点,且AC BD ⊥,求四边形ABCD 的面积的最小值.。

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