一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）抛物线2
2y x =的准线方程是 ( )
（A ） 1
2x
（B ）1
2y （C ）1
2x （D ）12
y
（3）在四面体O
ABC 中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ，OC =c ，那么向量AP 用基底
{,,}a b c 可表示为（ ）
（A ）111
222-
+a +b c （B ）11
22-+a +
b c （C ）11
22
+a +b c
（D ）111
222
+a +b c
（4）已知直线l ，平面α.则“l α”是“直线m α，l m ”的 （ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）()p q ∧⌝是真命题 （C ）()p q ⌝∨是真命题 （D ）p q ∨是假命题
（8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变
【答案】B
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)a ，(4,2,)x b .若a b ，则x
.
【答案】
103
【解析】 试题分析：因为a
b ，所以241230a b x ，解得103
x。
考点：两空间向量垂直的数量积公式。
（10）过点(1,1)且与圆22
20x x y -+=相切的直线方程是 .
（11）已知抛物线C ：2
4y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO .
【答案】
3
2
或1 【解析】
试题分析：由抛物线方程可知(1,0)F ，则1OF =。
设点P 坐标为2
00(,)4y y ，当OF PF =时，由抛物线的定义可知2
0114y PF =+=，则00y =，此时点P 与原点重合故舍。
当OF OP =时，1OP =。
当PF OP =时，由抛物线的定义可知2014y PF =+，所以222
20001()44y y y +=+202y =。
所以203
142
y OP PF ==+=。
综上可得PO
3
2
或1。
考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的焦点坐标。
（12）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 . 3【解析】
（13）如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是 .
【答案】3 【解析】
（14）曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；
④若点M 在曲线C 上，则MF 的最小值为21).
其中，所有正确结论的序号是___________．
三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (4 0)A ，，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥. （Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）当π
6
MOA ∠=
时，求直线NA 的方程. 【答案】（Ⅰ）2
4y x =（0x ≠）；330x y --=330x y +-=
【解析】
试题分析：（Ⅰ）属直接法求轨迹问题，再根据MO NA ⊥列式子时，可根据直线垂直斜率相乘等于1-列出方程，但需注意斜率存在与否的问题，还可转化为向量垂直问题，用数量积为0列出方程（因此法不用讨论故常选此法解决直线垂直问题）。
因点M 不能与原点重合故0x ≠。
（Ⅱ）π
6
MOA ∠=即直线OM 的倾斜角为
6
π或56π。
故可求出直线NA 的斜率，由点斜式可求直线NA 的方程。
试题解析：解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则(0,)N y ，(,)OM x y =，(4,)NA y =-.……………………2分 因为 直线MO NA ⊥，
所以 2
40OM NA x y ⋅=-=，即2
4y x =. ………………………4分
所以 动点M 的轨迹C 的方程为2
4y x =（0x ≠）. ………………………5分
（Ⅱ）当π6MOA ∠=
时，因为 MO NA ⊥，所以 π3
NAO ∠=. 所以 直线AN 的倾斜角为π3或2π
3.
当直线AN 的倾斜角为π
3时，直线NA 的方程为3430x y --=； ……………8分
当直线AN 的倾斜角为2π
3
时，直线NA 的方程为3430x y +-=. …………10分
考点：1、求轨迹方程；2、直线方程的点斜式。
(16) （本小题共11分）
已知椭圆C ：2
2
312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长； （Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程.
【答案】（Ⅰ）焦点坐标(0,22)，(0,22)-，长轴长43；（Ⅱ）221
39()()222
x y -++= 【解析】
（Ⅱ）由2231220x y x y ⎧+=⎨--=⎩，，
可得:2
20x x --=.
解得：2x =或1x =-.
(17) （本小题共11分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且3PC =．
（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；
（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
6
；（Ⅲ）存在，21-
试题解析：（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥. 因为CD PD ⊥，AD
PD D =，
所以
6
cos,
23
⋅
<>===
⨯
n m
n m
|n||m|
．
所以二面角B PD C
--的余弦值为
6
3
………………………8分
（Ⅲ）存在．理由如下：
若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．
所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分 因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =．
所以 |cos ,|2(1EC AP
EC AP EC AP ⋅
<>==
令
1sin 30,2=
=解得： 12λ=± 经检验1[0,1]2λ
=-
∈． 所以 棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30，此时PE 的长为1． ………………………11分 考点：1、线线垂直、线面垂直；2、二面角；3、空间向量法解立体几何。
(18) （本小题共12分）
已知椭圆M ：22
221(0)x y a b a b +=>>
经过如下五个点中的三个点：1(1,2P --，
2(0,1)P ，31(,22P ，4P ，5(1,1)P . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，, B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC ∆的外部，且ABC ∆为直角三角形，求ABC ∆面积的最大值.
【答案】
（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）89
【解析】
试题分析：（Ⅰ）因为1
(1,P -和4
P 关于原点对称，由椭圆的对称性可知1
(1,P -
和4(1,2P 在椭圆上。
因为4(1,2P 在椭圆上则31(,22
P 和5(1,1)P 不在椭圆上。
所以2(0,1)P 在椭圆上。
所以1212121222(2)(2)
AB AC k k x x ty m ty m ==++++++ 12221212(2)()(2)
t y y t m y y m =+++++212(2)
m ==-+. 于是23m =-，此时21616809t ∆=-+>，所以 直线2:3BC x ty =-.
所以 线段BC 与x 轴相交于2
22(,0)2t N t +.
显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设.
综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为8
9. ……………………12分
考点：1、椭圆的对称性和方程；2、直线和椭圆的位置关系问题；3、三角形面积的求法。