重庆市巴蜀中学2020届高三数学下学期期中（线上）试题 理（含解析）(满分：150分考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1. 设复数z ＝(a ＋i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a 的值是( ) A. －1 B. 1D.【答案】A 【解析】 【分析】由题，先对复数进行化简，再根据对应点在虚轴负半轴上，可得实部为0，虚部为负，即可解得答案.【详解】z ＝(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2ai ，据条件有21020a a ⎧-=⎨<⎩，∴a＝－1.故选A【点睛】本题考查了复数知识点，了解复数的性质是解题的关键，属于基础题.2. 质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ） A. 点数都是偶数 B. 点数的和是奇数 C. 点数的和小于13 D. 点数的和小于2【答案】C 【解析】 【分析】分别求出所给选项对应事件的概率即可.【详解】由已知，投掷两次骰子共有66=36⨯种不同的结果，点数是偶数包含的基本事件有(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)共9个，所以点数都是偶数的概率为91364=；点数的和是奇数包含的基本事件有(1,2)，(1,4)，(1,6)， (2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)共18个，所以点数的和是奇数的概率为181362=；点数的和 小于13是必然事件，其概率为1；点数的和小于2是不可能事件，其概率为0. 故选：C【点睛】本题考查古典概型的概率计算，本题采用列举法，在列举时要注意不重不漏，当然也可以用排列组合的知识来计算，是一道容易题.3. 已知函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点1x ，2x ，-2和1x ，2x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数()f x 的解析式为（ ） A. ()254f x x x =--B. ()254f x x x =++C. ()254f x x x =-+D. ()254f x x x =+-【答案】C 【解析】 【分析】由函数零点的定义和韦达定理，得1212,x x a x x b +=-=，再由2-和1x ，2x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，得122(2)x x =+-，124x x =，解得11x =，24x =，进而可求解,a b 得值，得出函数的解析式．【详解】由题意，函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点1x ，2x ， 可得1212,x x a x x b +=-=，则1>0x ，20x >，又由2-和1x ，2x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列， 不妨设21x x >，则122(2)x x =+-，124x x =，解得11x =，24x =，所以125a x x -=+=，124b x x ==，所以()254f x x x =-+，故选C.【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，等差、等比数列及函数与方程的应用，其中解答中根据等差等比数列的运算性质，以及函数零点的概念求得12,x x 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4. 若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥ ”是“//l α 的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．5. 已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===．现有结论：①122x x +=-，②341x x =，③412x <<，④123401x x x x <<．这四个结论中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象，作直线y m =，与函数()f x 图象交于四个点，分析四点为横坐标的性质即得．【详解】如图，作出函数()f x 的图象，作直线y m =，与函数()f x 图象交于四个点，从左向右四点为横坐标依次为1234,,,x x x x ，由于在0x ≤时，2()2f x x x =--的最大值为1，因此4()1f x <，即24log 1x <，42x <，由函数图象知122x x +=-，2324log log x x -=，即341x x =，412x <<，而21212()12x x x x +≤=，由于120x x <<，∴1201x x <<，∴123401x x x x <<，四个结论均正确． 故选D ．【点睛】本题考查函数图象与方程根的分布问题，解题时利用数形结合思想，把方程的根转化为直线与函数图象交点的横坐标，再利用函数性质可得结论．6. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若13sin MFG ∠=，则抛物线C 的方程是（ ） A. 2y x = B. 22y x = C. 24y x = D. 28y x =【答案】C 【解析】 【分析】作MD EG ⊥，垂足为点D ．利用点(0M x 在抛物线上、1||sin =3||DM MFG MF ∠=， 结合抛物线的定义列方程求解即可. 【详解】作MD EG ⊥，垂足为点D ．由题意得点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭在抛物线上，则082px =得04px =．① 由抛物线的性质，可知，0||2p DM x =-， 因为1sin 3MFG ∠=，所以011||||332p DM MF x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．所以001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得：0x p =．②． 由①②，解得：02x p ==-（舍去）或02x p ==． 故抛物线C 的方程是24y x =． 故选C ．【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题. 7. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中ω>0，||,24ππϕ≤-为f (x )的零点：且()|()|4f x f π≤恒成立，()f x 在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A. 11B. 13C. 15D. 17【答案】C 【解析】 【分析】先由()|()|4f x f π≤，()04f π-=可得ω为正奇数，再由()f x 在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值得到16ω≤，结合选项进行验证. 【详解】由题意，4x π=是()f x 的一条对称轴，所以()14f π=±，即11,42k k Z ππωϕπ+=+∈①，又()04f π-=，所以22,4k k Z πωϕπ-+=∈②，由①②，得122()1k k ω=-+，12,k k Z ∈，又()f x 在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值，所以()24128T πππ≥--=，即28ππω≥，解得16ω≤，要求ω最大，结合选项，先检验15ω=，当15ω=时，由①得1115,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即1113,4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ≤，所以4πϕ=-，此时()sin(15)4f x x π=-，当(,)1224x ππ∈-时，3315(,)428x πππ-∈-， 当1542x ππ-=-即60x π=-时，()f x 取最小值，无最大值，满足题意.故选：C【点睛】本题考查正弦型函数的图象及性质，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 8. 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A 1、A 2、…A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155)内的人数]．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160~180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A. i<6B. i<7C. i<8D. i<9【答案】C【解析】考查算法的基本运用．现要统计的是身高在160-180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A 5、A6、A7的和，故流程图中空白框应是i<8，当i<8时就会返回进行叠加运算，当i8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，此时已把数据A4、A5、A6、A7叠加起来送到S中输出，故选C．9. 已知函数π()3sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，A B ，两点之间的距离为10，且(2)0f =，若将函数()f x 的图像向右平移(0)t t >个单位长度后所得函数图像关于y 轴对称，则t 的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求出A ，ω 和φ，即可求函数f （x ）的解析式；再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求解t 的关系式．【详解】解：由题设图象知，10AB =, 周期12T 221068-=，解得：T ＝16， ∴ω82T ππ==． 可得f （x ）＝3sin （φ8x π+）,∵f （2）＝0， ∴sin（28φπ⨯+）＝0，∵<φ<22ππ-，∴φ4π=-．故得f （x ）＝3sin （84x ππ-），将函数f （x ）的图象向右平移t （t ＞0）的单位， 可得：y ＝3sin[()8x t π-4π-]＝3s in （884x t πππ--）， 由函数图象关于y 轴对称， ∴()428ππππ--=+∈t k k Z ，整理得：﹣t ＝6+8k ， ∵t ＞0，∴当k ＝﹣1时，t 的最小值为2． 故选:B ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．10. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为21 31223+33+【答案】C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当2AC BC ==时，取等号．∴121)12S =⨯++⨯=故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．11. C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ） A. 1b =B. a b ⊥C. 1a b ⋅=D.()4C a b +⊥B【答案】D 【解析】 试题分析：2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． ()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭．()4a b BC ∴+⊥．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．12. 设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】()f x 恰有两个极值点，则0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，令()()e 02x g x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=. 因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是____． 【答案】(,6][12,)-∞⋃+∞ 【解析】 【分析】由题意可知，进行两次操作后，得出3a 的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当3112(26)6418a a a =--=-，其出现的概率为211()24=， 当3111(26)632a a a =-+=+，其出现的概率为211()24=， 当1312(6)662a a a =+-=+，其出现的概率为211()24=， 当1132(6)6924a aa =++=+其出现的概率为211()24=， ∵甲获胜的概率为34，即31a a >的概率为34， 则满足111111114184189944a a a a a a a a -≤->⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+≤⎪⎪⎩⎩或整理得11612a a ≤≥或.【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，明确题意，得出3a 的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14. 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是边长为4的菱形，060ABC ∠=，14AA =，过点B 与直线1AC 垂直的平面交直线1AA 于点M ，则三棱锥A MBD -的外接球的表面积为____. 【答案】68π 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,先确定M 是1AA 中点，再求三棱锥A MBD -的外接球的半径，即得解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题得BD=43则A(2,0,0),B(0,23,0),(0,3,0)D -,1(2,0,4)C -,设(2,0,)M z ， 所以1(0,43,0),(4,0,4)BD AC =-=-,所以110,AC BD AC BD ⋅=∴⊥.所以(2,0,z)OM =，所以10,840,2AC OM z z ⋅=∴-+=∴=. 即点M 是1AA 中点时，1AC ⊥平面BDM.设三棱锥A MBD -的外接球的半径为R,设△MBD 的外接圆半径为r,则2,42sin 3r r π=∴=， 所以22214(2)172R =+⨯=.所以三棱锥A MBD -的外接球的表面积为2468R ππ=. 故答案为：68π.【点睛】本题主要考查几何体外接球的问题的解法，考查空间几何元素的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，426a a -=，且138,,a a a 成等比数列，则103S a =______. 【答案】352【解析】 【分析】设出等差数列基本量，根据题意列出方程组求出基本量，从而得到等差数列的通项公式，即可得解.【详解】设公差为d ，则有()()211126,27,d a d a a d =⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得14,3,a d =⎧⎨=⎩ 从而31n a n =+，故10335535102S a ⨯==. 故答案为：352【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和，属于基础题.16. 如图，抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，依次交12,C C 于,,,A B C D 四点，则AB CD ⋅的值是__________．【答案】1 【解析】 【分析】由题得11||||||11AB AF BF x x =-=+-=，同理2||CD x =，由此能够求出AB CD ．【详解】抛物线21:4C y x =的焦点为(1F ，0)，直线l 经过1C 的焦点(1,0)F ， 设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则11||||||11AB AF BF x x =-=+-=， 同理2||CD x =，∴12||||cos ,1AB CD AB CD AB CD x x =<>==．故答案为：1【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的合理运用． 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知1sin ,22m x ⎛= ⎝⎭,()21cos ,cos 2n x x x R ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,且函数()f x m n =⋅． ()1求()f x 的对称轴方程； ()2在锐角ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若()0f A =,4sin 5B =,a =求b 的值．【答案】（1）1212x k ππ=+,k Z ∈；（2）85b =. 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标形式下的数量积运算写出()f x 表达式，然后再根据对称轴公式求解对称轴；（2）先根据条件计算A 的值，再根据正弦定理计算b 的值. 【详解】解：2111(1)()sin cos cos sin 22224f x m n x x x x x ⎫=⋅=-=⎪⎝⎭1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令232x k πππ+=+,可得1212x k ππ=+,即()f x 的对称轴方程为1212x k ππ=+,k Z ∈； ()()12sin 2023f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,23A k ππ∴+=,得,,0,622k A k ZA πππ⎛⎫=-+∈∈ ⎪⎝⎭,当1k =时,3A π=,4sin 5B =,a =∴由正弦定理可得45b =85b ∴=． 【点睛】本题考查向量数量积、三角恒等变换、解三角形的综合应用，难度一般.（1）辅助角公式的运用要熟练：()sin cos tan b a x b x x a ϕϕ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭；（2）利用正、余弦定理去解三角形时注意边角关系的对应.18. 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ与x 轴相交于点D .若APD △AP 的方程.【答案】（Ⅰ）22413y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x -=，或330x -=.【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △出m ，得出直线AP 的方程.试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得()223460my my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD 的面积为6，故2216262322m m m ⨯⨯=+，整理得232620m m -+=，解得63m =，所以63m =±. 所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=. 【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 19. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且2222PD PC CD BC ===， 2,3BCD ABD π∠=∆是等边三角形， AC BD E =.(1)证明：PC ⊥平面PAD ； (2)求二面角PAB C 的余弦值.【答案】(1) 见解析529【解析】【详解】试题分析：（1）根据计算可得AD DC ⊥，根据面面垂直性质定理得AD ⊥平面PCD ，即得AD PC ⊥，再根据等腰三角形性质得PD PC ⊥，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果试题解析：(1)在ABCD ∆中，2,3π∠==BCD CD BC ,所以6π∠=∠=BDC CBD , 又ABD ∆是等边三角形，所以3π∠=ADB ,所以2π∠=∠+∠=ADC ADB BDC ,即AD DC ⊥,又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，所以AD ⊥平面PCD ，故AD PC ⊥.在PCD ∆中，22PD PC CD ==. 所以PD PC ⊥. 又因为ADPD D =,所以PC ⊥平面PAD .(2)解法一：如图，取CD 的中点H ，连接PH .则在等腰Rt PDC ∆中，PH DC ⊥.又因为平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD平面ABCD CD =，所以PH ⊥平面ABCD .过点D 作PH 的平行线l ，则l ⊥平面ABCD .由(1)知AD DC ⊥,故以D 为坐标原点O ，以直线DA DC l 、、分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设2DC =,则在Rt PDC ∆中，2PD PC ==1PH =.又在BCD ∆中，2,3π=∠=CD BC BCD , 所以2222222cos 22222cos123π=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=BD CD CB CD CB BCD ，故23BD =又因为ABD ∆是等边三角形，所以23AD =所以()0,1,1P ,()23,0,0A ,()0,2,0C ,23cos,23sin,033ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ，即)30B ，，.所以()23,1,1=-AP ,()3,3,0AB =-,()0,0,1=HP .设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则由00n AP n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得230330x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩. 令3x =，得1,5y z ==.故()3,1,5=n 为平面PAB 的一个法向量.因为PH ⊥平面ABCD ，故()0,0,1=HP 为平面ABCD 的一个法向量. 故()222301051529cos ,29315⋅⨯+⨯+⨯====⨯++n HP n HP n HP. 设二面角P ABC 为θ，则由图可知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以529cos cos ,θ==n HP . 解法二：取CD 的中点H ，连接PH ，连接HE 并延长，交AB 于F ，连接PF .则在等腰Rt PDC ∆中，PH DC ⊥.又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABDC CD =, 所以PH ⊥平面ABCD .设2DC =,则在Rt PDC ∆中，2,1PD PC PH ===.又在BCD ∆中，2,3π=∠=CD BC BCD ， 所以2222cos BD CD CB CD CB BCD =+-⋅∠22222222cos123π=+-⨯⨯⨯=，故23BD =BCD ∆中，,DE EB DH HC ==，所以//EH BC ，且112EH BC ==. 故6π∠=∠=HED CBD ,又BEF HED ∠=∠,且3DBA π∠=,所以2π∠+∠=DBA BEF ,故EF AB ⊥.又因为PH ⊥平面ABCD ，由三垂线定理可得PF AB ⊥, 所以PFH ∠为二面角P AB C 的平面角.在Rt BEF ∆中，132BE BD ==,所以33sin 32EF BE DBA =∠=⨯=. 故52HF HE EF =+=.所以在Rt PHF ∆中，2222529122PF PH HF ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,故55292cos 2929HF PFH PF∠=== ∴二面角P AB C 的余弦值为52929. 20. 微博橙子辅导用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下：若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”.（1）将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？ （2）从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动. （ⅰ）设A 为事件"抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件A 发生的概率； （ⅱ）用X 表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）128人；（2）（ⅰ）1314；（ⅱ）分布列见解析，()32E X = 【解析】（1）先求出样本中“社会实践标兵”不低于12次的频率，再乘以总人数即可；（2）（ⅰ）利用间接法，先求A 的对立事件的概率()P A ，再利用()()1P A P A +=计算即可；（ⅱ）X 所有可能的取值为：0，1，2，3，分别求出随机变量取相应值的概率，列出分布列即可.【详解】（1）样本中“社会实践标兵”不低于12次的学生有8人，∴该校学生中“社会实践标兵”有：81600128100⨯=人. （2）8名“社会实践标兵”中有男同学3人，女同学5人， （ⅰ）A 为“抽取的4位同学全是女同学”，()4548114C P A C ∴==，()()113111414P A P A ∴=-=-=. （ⅱ）由题意知：X 所有可能的取值为：0，1，2，3，()45481014C P X C ===；()133548317C C P X C ===；()223548327C C P X C ===；()3135481314C C P X C === 则X 的分布列如下：()1331301231477142E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查样本估计总体以、对立事件的概率、超几何分布及其期望，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.21. 设a ，R b ∈，函数()ln f x x ax =-，()b g x x=. （Ⅰ）若()ln f x x ax =-与()bg x x=有公共点()1,P m ，且在P 点处切线相同，求该切线（Ⅱ）若函数()f x 有极值但无零点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0a >，1b =时，求()()()F x f x g x =-在区间[]1,2的最小值.【答案】（1）220x y --=（2）1a e>（3）()min F x =11,0ln 22{11ln 22,ln 222a a a a ⎛⎫--<<+ ⎪⎝⎭⎛⎫--≥+ ⎪⎝⎭.【解析】【详解】试题分析：（1）利用切线的几何意义求切线的斜率；（2）利用导数分析函数的单调性，结合极值，只需极小值大于0或极大值小于0即可求出；（3）利用导数判断新函数的单调性及极值，再结合定义域分析函数再区间上的最小值． 试题解析：（Ⅰ）由()()()()11{11f g f g '=='得1{a ba b-=--=12{12a b =∴=-； 在点11,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭的切线方程为1122y += ()1x -，即220x y --=． （Ⅱ）当0a ≤时，由()10f x a x'=->恒成立，可知函数()f x 在定义域()0,∞+单调递增，此时无极值．当0a >时，由()10f x a x'=-=得10x a=>；由()10f x a x '=->得10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；()10f x a x '=-<得1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭．于是，1x a =为极大值点，且()max 1f x f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ln 1a --． 由于函数()f x 无零点，因此()max 1f x f a ⎛⎫==⎪⎝⎭ln 10a --<，解得1a e >（Ⅲ）不妨设()1ln F x x ax x =--得()211F x a x x =-+' ()221ax x x---=．设()21h x ax x =--，0a >，140a ∴∆=+>设()0h x =的两根为1x ，2x ；且12x x <，由1210x x a⋅=-<得10x <，20x >且212x a+=．()()()122a x x x x F x x---'∴=． ∴当()0F x '=时2x x =；当()0F x '>时，20x x >>； 当()0F x '<时，2x x >．()F x ∴在(]20,x 递增，[)2,x +∞递减．①当201x <≤时，即()11{210a h <≥解得2a ≥时，][)21,2,x ⎡⊆+∞⎣，()F x 在[]1,2递减；()()min 2F x F ∴== 1ln222a --．②当22x ≥时，即()20h ≤解得304a <≤时，[](]21,20,x ⊆，()F x 在[]1,2递增； ()()min 1F x F ∴= 1a =--．③当212x <<时，即324a <<时，()F x 在[]21,x 递增，[]2,2x 递减； ()()21F F ∴-= 1ln2212a a --++ 1ln22a =+-．（i ）当1ln222a +≤<时，()()21F F ≤，()()min 2F x F ∴== 1ln222a --．（ii ）当31ln242a <<+时，()()21F F >，()()min 1F x F ∴== 1a --．综合①、②、③得()()()F x f x g x =-在区间[]1,2的最小值；()minF x ∴= 11,(02)2{1122,222a a ln ln a a ln --<<+⎛⎫--≥+ ⎪⎝⎭．点睛：本题考查函数单调性极值及切线问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会． 22. 已知平面直角坐标系xoy .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为6π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C的极坐标方程为2sin 1ρθ+=（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（2）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线32:2x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t为参数）距离的最小值.【答案】（1）P ，22(4x y +=；（21-. 【解析】 【分析】（1）把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出. 【详解】（1）x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入计算，362P x π===，6P y π=＝12= ∴点P 的直角坐标(，由2sin 1ρθ+=，得221x y ++=， 即(224x y ++=，所以曲线C 的直角坐标方程为(224x y ++=（2）曲线C 的参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由32:2x t l y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），得直线l 的普通方程为270x y --=.设()2cos ,2sin Q θθ，则PQ 中点3cos ,sin 2M θθ⎛⎫+⎪⎝⎭，那么点M 到直线l 的距离，()11d θϕ-+===11110≥=-，所以点M 到直线l的最小距离为1-. 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．23. 已知函数()=-++f x x a x b（1）若1a =，2b =，求不等式()5f x ≤的解集； （2）若0a >，0b >，且42a b ab +=，求证：()92f x ≥． 【答案】（1）[32]-，；（2）证明见解析．【解析】 【分析】（1）利用分类讨论法解不等式求不等式()5f x ≤的解集；（2）先用绝对值不等式的性质求得f x a b ≥+（），再根据基本不等式可得92a b +≥，利用不等式的传递性可得．【详解】（1）12a b ==，时，()25125215x f x x x x ≤-⎧≤⇔-++≤⇔⎨--≤⎩或2135x -<<⎧⎨≥⎩或1215x x ≥⎧⎨+≤⎩，解得32x -≤≤，故不等式5（）≤f x 的解集为[]32，-； （2）00a b ＞，＞时（）（）（）=-++≥+--=+f x x a x b x b x a a b ，当且仅当b x a -≤≤时，取等． ∵42a b ab +=， ∴1212b a+=，()122⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭a b a b a a 125922222a b b a +++≥+=当且仅当332a b ==，时取等． 故()92f x ≥． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了三角绝对值不等式的应用，考查了基本不等式求最值，属中档题．。