[ xk 1 , xk ] 上无界. 令
G
ik

f ( i )Δ xi ,
故必存在 k xk 1 , xk , 满足
M G f ( k ) . xk
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于是
i 1
f ( i )Δ xi
ik

f ( k )Δ xk
f ( i )Δ xi
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又任取 i [ xi 1 , xi ]\ Q, i 1, 2,
, n, 则
D(i )Δxi 0.
i 1
n
于是
n
D( i )Δxi D(i )Δxi
i 1 i 1 n i 1
n
n
1, 而这与
D( i )Δxi D(i )Δxi
S (T ) s(T ) ( M i mi )Δxi i Δxi .
i 1 i 1
n
n
此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明. 在用它 证明可积性问题时,有多种方法可使
i x i . i 1
n
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常见的有三种方法,下面分别作出介绍. 第一种方法: 每个 i
M G Δ xk G M , xk
矛盾. 以下例子告诉我们, 有界性并不是可积的充分条件.
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例 1 试用反证法证明:狄利克雷函数 D( x ) 在任何
区间 [a , b] 上不可积.
证 若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则 J R, 0,
i 1
1 1 D( i )Δxi J D(i )Δxi J 1 2 2 i 1 i 1
n n
相矛盾, 所以 D( x ) 在 [a , b] 上不可积.
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定义2 设 f 在 [a , b] 上有界, 对任意分割 称 S (T ) M i Δxi 为 f 关于分割 T 的上和,其中
与 i [ xi 1 , xi ] ( i 1,2,
n i 1
, n ) 如何选取, 都有
1,
f ( i )Δxi J
于是
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f ( i )Δxi
i 1
n
J 1 M.
则必有 k , 使得 f ( x ) 在 倘若 f ( x ) 在 [a, b] 上无界，
n

ba
n i 1
，从而
i Δxi b a Δxi .
i 1

例如, 在 [a, b] 上一致连续的 f ,便属于这种情形.
定理9.4（连续必可积）
若 f 在 [a , b] 上 连续，则 f 在 [a , b] 上 可积. 证 f 在 [a , b] 上连续,从而 在 [a , b] 上 一致连续.于
§3 可积条件
判别一个函数 f (x) 在[a, b]上是否可积,就是判别
极限 lim
f ( i ) xi T 0
i 1
n
是否存在. 在实际应用中，
直接按定义来判定是困难的. 我们希望由函数本身 的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别
函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证明

n

ba
i i
,
Δx ba
i 1
从而
Δx
i 1

n
i
.
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第二种方法: 若 i 有界, 即 M , 对任意分割,
i 1
n
i M , 则当 || T ||
i 1 n i 1
n

M
时,
n
i Δ xi || T || i M M .
称 i M i mi ( i 1, 2,
振幅.
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n;
n) 为 f 在 [ xi 1 , xi ] 上的
振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连
续性相关联的概念. 定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要 条件是： 0, 分割 T , 使
i 1

例如, f 在 [a, b] 上单调时,有
i
i 1
n
f (b) f (a ) ,
从而可证 f 在 [a , b] 上可积.
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定理9.5（单调必可积）
若 f 是 [a , b] 上的单调函数,则 f 在 [a , b] 上可积.
证 不妨设 f 是非常值的增函数，则对任意分割
有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是
可积的充分条件而非必要条件.
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定理9.1 (可积必有界） 若函数 f 在 [ a , b ] 上可积，则 f 在 [ a , b ] 上必有界.
证 设
f ( x )dx J . a
b
由定义, 对 1 0 , 0 , 只要 T , 无论 T
M i sup f ( x ) | x [ xi 1 , xi ], i 1, 2,
n i 1 i 1 n
T : a x0 x1 ... xn b,
n;
称 s(T ) mi Δxi 为 f 关于分割 T 的下和,其中
mi inf f ( x ) | x [ xi 1 , xi ] , i 1, 2,
T : a x0 x1 ... xn b,
i f ( xi ) f ( xi 1 ), i 1, 2, , n,
当 T 时 , 对任何 i [ xi 1 , xi ], 有
1 D( i )Δxi J 2 . i 1
现任取 i Q [ xi 1 , xi ], i 1, 2,
n n i 1 i 1
n
, n, 则
D( i )Δxi Δxi 1.
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是 0, 0, x, x [a, b], 若 x x , 则
f ( x) f ( x)

ba
.
因此当 [a , b] 上的分割 T 满足 T 时,
i M i mi
sup{ f ( x) f ( x) ，x, x [ xi 1 , xi ] }