专题三 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法一能力培养 1,归纳猜想证明 2,转化能力3,运算能力4,反思能力二问题探讨1冋题1数列｛ a n ｝满足3], a i a 22问题2已知定义在R 上的函数f(x)和数列｛ a n ｝满足下列条件：a 1 a , a . f (a n 1) (n =2,3,4, ),a 2 印，f (a n )f (a n 1) = k(a n a n 1) (n =2,3,4,),其中 a 为常数,k 为非零常数(I) 令b n a n 1 a n ( n N )，证明数列｛b n ｝是等比数列； (II) 求数列｛ a n ｝的通项公式；(III)当k 1时，求 lim a n .numv uuuv uuuv uuuv uuuiv uuv问题3已知两点M ( 1,0) ,N (1,0),且点P 使MP MN , PM PN , NM NP 成公差小于零的等差数列•uuuv uuuv(I)点P 的轨迹是什么曲线？ (II)若点P 坐标为(X g , y 。

),记 为PM 与PN 的夹角，求tan2a n n a n ,(n N ). (I)求｛a n ｝的通项公式(II)求丄100n 的最小值；a n(III)设函数f(n)是—100n 与n 的最大者，求 f (n)的最小值.三习题探讨 选择题21数列｛a n ｝的通项公式a n n kn ,若此数列满足a na n ,(n N ),则k 的取值范围是A, k 2B, k 2C,k 3D, k 32等差数列｛a n ｝,｛b n ｝的前n 项和分别为S n ,T n ,若」--- ，贝V —=T n 3n 1b n22n 1 2n 12n 1A,—B,-C,-D,-33n 13n 1 3n 43已知三角形的三边构成等比数列 ，它们的公比为q ,则q 的取值范围是若AF , BF , CF 成等差数列，则有16在 ABC 中,ta nA 是以4为第三项,4为第七项的等差数列的公差，ta nB 是以-为3第三项,9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 A,钝角三角形 B,锐角三角形C,等腰直角三角形D,以上都不对填空2m 项之和S 2m ___________________________________ 11等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和且S 6 S 7，S 7 S 8,则①此数列的公差 d 0,1苗A, (0, 丁)B,(151 、5 1 、、5c,[1, 丁) D,(1_5) 24在等差数列｛a n ｝中,a 18 B ,75 1，第10项开始比1大，记25t 色 254 C ,75 [im A (a nn n _3 50 S n ) t ,则t 的取值范围是4D ,75t5o5 设 A (x i , y i ),B (X 2, y 2),C (X 3, y 3)是椭圆2yb 2 1(a 0)上三个点 ,F 为焦点，A, 2X 2 X ] x 3 B,2y 2 y 1 y 32C,—X 2 2D,XX 1 X 3X 1 X 37等差数列｛a n ｝前n (n 6)项和& 324，且前6项和为36,后6项和为180，则n 22 32 23 33 6263{a n }中』m(a 1 a ?10 一个数列{a n },当n 为奇数时，a .9在等比数列2n 3n 6n,则 limS n 1 a n ) ，则a 1的取值范围是 ________________15n5n 1 ；当n 为偶数时，a n 22 .则这个数列的前②S 9S 6,③a 7是各项中最大的一项，④S 7 一定是S n 中的最大项，其中正确的是 r 曰na n X ，且a 1,a 2,a 3 a .组成等差数列(n 为正偶数).又f(1) n 2, f ( 1) n ,(l)求数列的通项a n ；(II)试比较f(1)与3的大小，并说明理由.213已知函数f(x) 3x bx 1是偶函数，g(x) 5x c 是奇函数，正数数列｛a n ｝满足2a 11,f(a n1 a n)g(a n1a n a n ) 1• (I)若｛a n ｝前n 项的和为S n ,求limS n ;n(II)若b n2f (a n ) g(a n 1),求b n 中的项的最大值和最小值•14•已知等比数列｛x n ｝的各项不为1的正数 擞列｛y n ｝满足y n log x n a 2 (a 0且a 1),设 y 4 17, y 7 11.(I)求数列｛y n ｝的前多少项和最大，最大值是多少？(III)试判断，是否存在自然数 M,使当n M 时x n 1恒成立,若存在求出相应的 M;若不存在,请说明理由•解答题2312 已知 f(x) a/ a ?x a 3X(II)设 b n2yn ,S n b i b 2 db n ,求lim 冬的值.n215设函数f(x)的定义域为全体实数，对于任意不相等的实数 X 「X 2,都有f(xj f(X 2)X i 屜，且存在 X 0,使得 f (X o ) X o ,数列｛a n ｝中，31X o , f(a n ) 2a n 1 a n (n N),求证:对于任意的自然数n ,有：(I) 3n X o ； (II) 3nX n 1.参考答案：2 2问题 1 解：(I) a i a 2 a n n a n ,得 S n = n a n当n2时，a nS nS n 12=n a n(n1)2a n 1,有(n 21)a n2a n n 1 (n 1) a n 1，即a n 1n 1于是 a na 2 a 3 a 4a n 1 2 3 n 1 2 1 1于是a 〔 a 〔 a 2 a 3a n 13 4 5n 1n(n 1).乂 a 〔 ，得 a n 一.2 n(n 1)由于 a 1也适合该式，故a n =1n(n 1).1所以当n 49或50时，100n 有最小值 2450. a n有 f min (n)= f (1)=1.而,当n 2时，虽乩f(a n )b n 1a n a n 1因此，数列｛b n ｝是一个公比为k 的等比数列.n 1n 1(II) 解:由(I)知,b n k b 1 k (a 2 aj(n N )(II)丄100 n = n 2 99n = (n 249.5)2450.25(III)因f(n)是丄 100 n 与n 的最大者，有 f(n) a n100)n(1 n 1 100n(100 a nn)'问题 2(I)证明：由 b | a 2 a 10 ,得 b 2 a 3 a ?fQ) f(aj k(a 2 aj 0.由数学归纳法可证b n a n 1 a n 0(nN ). f(a n 1)a n a n 1k(a n a n 1) ka n a n 11,当k 1 时,bi1 k n 1b 2 b n (a 2 印），1—(n 2) k当k 1 时,bi b 2b n (n 1)(a 2 印）（n 2）而bi b 2b n(a 2 aj (a 3a 2)(a na n 1 )a n a(n2),有当k1时,a n1 k n1a 1 =(a 2 aj1 k(n2);当 k 1 时,a na 1 = (n 1)(a 2 aj (n 2)以上两式对n1时・也成立,于是1 时,a n1 k n1 1 k n1当k a 1 (a 2 印) 1 k =a (f (a) a)1 k当k 1 时,a na 1 (n 1)(a 2ai) = a (n 1)(f (a) a).问题 3 解:(I)设点 P(x,y ),由 M ( 1,0) ,N (1,0) 得UUUV UUV 2 2(II)设P(X 0,y °),则由点P 在半圆C 上知,PM PN x 0 y ° 1..(1 x0)2 y °2 (1x 0)2y °W=(4 2x)(4 2x 0)=2、4x02习题解答:(III)解:当 k 1 时,lim a nnlim[ a (f (a) a)n1 k n1] 1 k ]f (a) a 1 kumv PMUUUVLU uuvUULUUUV NM (2,0)UUUVUUUV 有 MP MNUUUV UUUV 2(1 x) ,PM PN 2 UUUV UUV y 1,NM NP 2(1 x). UUV UUUV UUUV UUUV UUUV 于是 MP MN ,PM PN ,NM UUV NP 成公差小于零的等差数列等价于 2 21 x y 1- [2(1 x) 2(1 22(1 x) 2(1 x) 02 2x)] x y，即 y x 0所以点P 的轨迹是以原点为圆心，-.3为半径的右半圆C.UUUV UUV 又 PM PN得cos 又 0 x 。

1,1,4 x 。

2,sin3、1 cos 214 1x 02 ,由此得 tan\ 3 x )2y ° •UUUV1 由 a n 1 a n (2n1) k 0 ,n N 恒成立，有3 k 0,得 k 3,选 D.a 〔 a ?c a n 2a n b n 2b n b 1 a 1 a 2n 1 口 (2 n 1) 2 D b 2n 1 __2Sn 1 (2n 1) T 2n1 2(2 n 1)3(2n 1) 1选B.3n 12 3设三边长分别为 a,aq,aq ，且a0,q 0 ①当q 1 时，由 a 2aq aq ，得1 1 .5 q 丁 ②当0 q 1 时,由 aq aq 4由印。

a 1 9d 1，且 a 9 1 7 3 又a 1 ，于是 t ai D. 755由椭圆第 2定义得AF 选a ，得壬」 q 1，于是得 J 选D.26由条件得 8d 1 1,而 lim 2 (a nn nS n )t ,CF 4 4tanA,9 (为 2 BF 2(X 2 2—)，选A.c得 tan C tan[ (A B)] 7 由 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 佝a n ) (a 2 a n 1 ) Ita n 33 tan (A 36 ,a n (a 6 a n 5) B ，有 tan A 2 , tanB 3.B) 1,于是ABC 为锐角三角形a n 1 a n 2a n 3 a n 4 a n 5 216 ,即 6(a 1 a n )=216,得 a 1 ，选B.180有 a n =36, 324,解得 n 18. 1 8S n (3 3^ (2 1 班)，得 n im S 1 3 1 13 1 2 1〕 2 9由条件知 ，公比q 满足0 1,且冷亦当0 q 1时,0 a 1 1 15 2 15于是a 1的取值范围是 (0和6,即 10当n 为奇数时，相邻两项为a n 与a n 2,由a . 5n 1得a n 2 a .5(n 2) 1 (5n 1)=10,且a 1 6 •所以｛a n ｝中的奇数项构成以 a 1 6为首项，公差d 10的等差数列n 2n a 2~当n 为偶数时，相邻两项为a n 与a n 2,由a n = 22,得亠 - a n 2㊁2 ,且 a 2 2 所以｛a n ｝中的偶数项构成以 a 2 2为首项，公比q 2的等比数列. 由此得S 2m 6m m(m 1) 2 10 2UD 5m 2 m 2m1 2. 1 2 11 由 S 6 S 7 , S 7 0,a 8 0,有d 0;S 9 S 6；S 7是S n 中的最大值，选①②④. 12解:(1)由 S s ，得 a 7 f(1) a i 又 f( 1) 印 (2n 1 (2n 1 得(1 1 2 a 2 碍）1 (II) fg 1 1 2f(2)(1)n2a n = n 2,再依题意有a 1 a n = 2n ,即2a 1 a n ,（n 为正偶数）得d2，代入①有1 f (2)1 2 12(?n (2n 1 (2n 1)3. 2n(n a n1)d 2n 2n ① 1.13 解:(I)可得 f(x) 3x 2 1 ,g(x) 5x ,由已知 f (a n a n ) g(a n 1a na n 2)1，得(3a n 12a n ) (a n 1a n )a n 10 ,而 a n 1 a n 0 ,有一a n是 lim Sn3.(II) b n 2f (a n ) g(a n 1)由a n (f)n 1 知b n 的最大值为 5 2 836(a n )2,18 54」 14b 1 —,最小值为 b 4 374 24314 解：（I ） Y nn 1X n ,设 X n XQ有y n 1 Yn2 log x n2lOg a ax n 1 2log a X n 2log a q ,又｛『n ｝成等差数列.Y 7 Y 47 4 2log a qd ，得d2, Y 1 Y 7 (7 1) ( 2)23, y n 25 2n .当 Y n 0 时，即 23 (n 1) ( 2)0,得 n25 2于是前12项和最大，其最大值为144.(II) b n 2Yn225 2n,b! 223，得 Eb n4,b n 223(4)n14 4lim n S n22342!3 lim25n 2(III) 由(I)知当n 12 时,y0恒成立,由Y n2l0g a X n，得X n Y n a^(i)当0 n 12时有X nY na^ a01,(ii)当a 12 时,X n 1,故当0 a 1 时，在M 12 使n M 时,x n1恒成立；当a1时不存在自然数M,使当n M 时x n 1.15证明：用数学归纳法(I)当n 1时，a1a0命题成立.假设当n k(k N)时,a k a0成立,那么当n k 1 时，由f(M)f(X2) X1 X2 ,得f(X o) f(aQ X o a k ,又f (X o) X o,有X o f(a k) X o a k ,而a k X o,得X o f(a k) X o于是a k X o X o f (a k) X o a k,即a k f(a k) f(a k) a k2X0,又f(a k) 2a k 1 a k,有a k (2a k 1 a k) 2X o，即a k 1 X o,于是当n k 1时，命题也成立.综上所述，对任意的k N ,a n (II)由fX) f (X2)又f (X o) X o,得又a n 比,得X o 有f(a n) a n,而故a n 1 a XoX1 X2 ,得f(X o) f(a nf (a n)f(a n) X of(a n) 2a n 1X o a na n，即a n X o X oa n，得2a n 1 a nX o a nf (a n) X o a n,。