q (q , p , t ), 1,2,s, q
L, 或 3)通过 H ( p, q, t ) p q ,并利用 H T2 T0 V
s
q
q (q , p , t ), 1,2,s, 得到 H H (q , p , t ). q
s
s s s s L L p dq d ( p q ) q dp 考虑到p , 则 dq q 1 q 1 1 1
s L L L) dp 得 : d( p q dq q dt t 1 1 q 1 s s
二. 正则方程
, t ), 则 L L(q , q
L L L dL dq dt q dq q 1 t
s
L L L dL dq dt q dq q 1 t
代入哈密顿函数的定义式中,得 H ( px , py , pz , x, y, z )
py y pz z L H px x
1 k 2 2 2 2 ( px p y pz ) ( x y 2 z 2 ) 2m 2
将H代入正则方程中,得到质点的动力学方程:
§9.1 正则方程
本章在相空间中研究力学系统的运动,导出另一种形 式的动力学方程,即正则方程。---------这种方法称为 哈密顿方法（或称哈密顿表述）.
第六章是在位形空间中,通过完整有势系的拉格朗日 方程来研究力学系统的运动.
d L L 0, 1, 2, , s q dt q
f f d ( ux f ) xdu dy dg xdu dy y y
g g dg du dy u y
g x , u
f g y y
------------这是新变量与新函数应满足的方程。
以上所述把 ( x, y) ( u, y); f g 称为勒让德变换, 这种变换不仅应用在力学中，还用在热力学系统中， 从一个特征函数变换得到热力学系统的其他特征函数。
例: 试由哈密顿 p q
1
t2
s
H L p q
1
s
由哈密顿原理, 得
s H dt 0 p q t1 1
因为H是p,q,t的函数,并且 t = 0 , 所以
k 2 k 2 2 2 V r (x y z ) 2 2
o
x
y
1 k 2 2 2 2 y z ) (x y 2 z 2 ) L T V m( x 2 2
px L x p x mx m x py L y 又 py my y m pz L mz pz z m z
1
4)将H 代入正则方程中,得出系统的运动方程.
哈密顿动力学与 拉格朗日动力学比较：在拉格朗日 动力学中, 从拉格朗日函数可以直接写出动力学方程即 拉格朗日方程. 而在哈密顿动力学中, 必须从拉格朗日 函数转到哈密顿函数, 才可写出动力学方程即哈密顿正 则方程, 所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便。 哈密顿动力学的优点：1）是便于量子化.如在量子力 学中，哈密顿函数作为算符可确定微观粒子的运动规 律；2）在变量的变换中比较自由：拉格朗日动力学采 用的变量广义坐标和广义速度并不对等, 只能对广义坐 标进行变换, 而广义速度也随之而变. 哈密顿动力学采 用的变量坐标和动量是完全对等的 ,不仅可以对广义坐 标进行变换,而且可以坐标和动量一起变换, 这个在正则 变换时可知其优点.
q q (t ) p p (t ) 思考:正则方程是否适用任何系统?
正则方程适用于主动力均为有势力的理想完整系.
[例] 一质量为m的自由质点,受力 F kr , r 为位矢, k为大于零的常数.运用正则方程,写出在直角坐标系中 质点的运动微分方程。 解: 取x，y，z为广义坐标。动能 为 P z F m 2 2 2 y z ) T (x 2
L d L , 使上式写成 据拉氏方程可知 , p q dt q
L L) p dq q dp d( p q dt t 1 1 1
s s s
H
对于哈密顿量：
s
L H ( p, q, t ) p q
s s
p q
1
s
t2
t1
H q p t1 1
t2 s
H p p q
dt 0 q
因端点是固定的, 则:
t2
q t t q t t 0 ( 1, 2, , s)
H H q p p q dt 0 pq p q t1 1
s t2
又
d d s s p q p q p q p q dt dt 1 1 1 1
dH H dt t H dH 当 0, 则 0 t dt H H ( q , p , t ) 常量 广义能量积分
ri 若 0, 则H T2 V E 常量 t
2. 广义动量积分
H H 若 0, 则p 0 p p (q , p , t ) a 常量 q q 广义动量积分
五. 广义能量积分和广义动量积分
1. 广义能量积分
s H dH H H q p dt 1 q p t
H H 将正则方程 q ,p , 1, 2, , s 代入上式得: p q
1
s
H H H dH q dq p dp t dt 1
L dq q dp dH p dt t 1 1
s s
由于 q , p , t 相互独立的, 所以
H q p ( 1, 2, , s ) H p q
H p q
m 得到质点的运动微分方程 m m
kx x ky y kz z
应用正则方程建立系统运动方程的步骤小结:
1)检验系统是否是完整的有势系,然后确定自由度,选择 适当的广义坐标.
, t ), 2)写出系统相对惯性系的动能和势能,得到 L L(q , q 并求出广义动量 p L , ,1 由此反解出 , 2, s,
三. 哈密顿函数的意义
哈密顿函数是系统的特征函数,因它隐含着系统的约束 关系、系统的受力情况以及系统的结构情况等信息。 哈密顿函数不仅应用于经典力学范畴，还应用于其它 物理学领域，如量子力学中，热力学等。
一般形式: H (q , p , t ) T2 T0 V
四. 正则变量、相空间、正则方程的意义
2s个广义坐标 q , 1,2,s 和广义动量 p , 1,2,s， 统称为正则变量。
由2s个 q , p 组成的2s维空间称为相空间。相空间中 的一个点（相点）代表系统在某时刻的运动状态.在 相空间中, 利用正则方程可对力学系统进行定性的几 何研究,尤其是对非线性系统在解析求解困难时. 正则方程的意义:它结构简单对称,为后续的力学发展 (如泊松括号、正则变换、哈密顿-雅可比方程等理论) 奠定基础；在数学上，正则方程是一阶微分方程，有 利用计算机数学软件对非线性系统的运动作数值计算。
—— - 哈密顿正则方程 , 它 是一阶微分方程,且形式对 称.
H L 和 不是动力学方程 t t
说明如果L不显含时间, H也不显含时间.
H q p ( 1, 2, , s ) H p q
结合初始条件,得到描述力学 系统运动状态的运动方程:
1 2
H q p t1 1
s
H p p q
q
q dt 0
因p, q 在积分范围 内是任意的, 而且相互 独立, 故得:
H p
------------这是个二阶微分方程组,现想将其变换成一阶 微分方程组,以得到一种新的形式对称的运动方程组.
一. 勒让德变换
在方程中, 把一组独立自变量变为另一组独立自变 量的变换, 叫勒襄特变换. 设函数 f f ( x, y) ,
f f df dx dy x y
f , 现( x , y) ( u, y); f g 令: u x f f df udx dy d ( ux ) xdu dy y y
H px H , px kx x p x m x py H H , py ky y p y m y pz H H z , p kz z pz m z