一.填空题（每题2分，共12分）
1.设A B 、为随机事件，()()P AB P A B =，()0.4P B =， 则()_________P A =.
2.随机变量2~(4,)X N σ，且{46}0.3P X <<=，则 {2}__________P X <=.
3.已知随机变量~(3)X P （泊松分布），则43Z X =+的方差________DZ =.
4.设随机变量X 和Y 的数学期望分别为3-和3，方差分别为1和4，而相关系数为0，则由切比雪夫不等式，有{||6}__________P X Y +≥≤.
5.总体~(0,1)X N ，设1X ，2X ，…，(2)n X n ≥是来自X 的随机样本，则统计量2
122(1)n i
i n X U X
=-=∑服从__________分布（写出自由度）. 6.设{(),0}X t t ≥是独立增量过程，且(0)0X =，在方差函数()X D t 已知的条件下，则协方差函数(,)__________X C s t =.
二.选择题(每题2分，共12分)：
1.设事件,A B 互不相容且概率不为零，则下列结论肯定正确是________
(A ) A 与B 互不相容 (B ) A 与B 相容
(C ) ()()()P AB P A P B = (D ) ()()P B A P B -=
2.设随机变量2~(,)X N μσ,则随着参数σ的减小，概率{||3}P X μσ-< _________
(A ) 单调增加 (B ) 单调减少
(C ) 保持不变 (D ) 增减不定
3.设随机变量X ,Y 相互独立且同分布：{2}{2}1/2P X P Y =-==-=，{2}{2}1/2P X P Y ====，则________
(A ) {}1/4P X Y == (B ) {}1P X Y ==
(C ) {0}1/4P X Y +== (D ) {4}1/2P XY ==
4.设随机变量X ,Y 的方差存在且不为零，若EXY EX EY =⋅，则X ,Y 必然________
(A ) 独立 (B ) 相关系数为零
(C ) 不独立 (D ) 相关系数不为零
5.在假设检验中，记0H 为待检验假设，则所谓犯第二类错 误指的是__________
(A ) 0H 为真时，接受0H (B ) 0H 为真时，拒绝0H
(C ) 0H 为假时，接受0H (D ) 0H 为假时，拒绝0
H 6. 设1X ，2X ，…，n X 是来自总体X 的随机样本，X 为样本均值，EX 未知，则总体方差的无偏估计量为
(A ) 211()1n i i X X n =--∑ (B ) 21
1()n i i X X n =-∑ (C ) 211()1n i i X EX n =--∑ (D ) 21
1()n i i X EX n =-∑ 三.计算题（共8个题目，共76分）
1.（10分）一机床有13的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零
件A 时，停机的概率是
310，加工零件B 时，停机的概率是410
， 求:(1)这台机床停机的概率； (2)若已知这台机床停机，则停机时加工零件A 的概率.
2. (10分）设随机变量X 的分布密度为
sin ,,()A x x f x x π 0<<⎧=⎨0, ∈⎩其他
求:(1)系数A ； (2)X 的分布函数；
(3)X 落在区间3(,)44
ππ 的概率. 3. (8分）设随机变量X 的概率分布为
求:(1)1Y X =+的概率分布；
(2)32Y X =+的概率分布.
4.(15分）设二维随机变量(,)X Y 在矩形区域{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上
服从均匀分布.记0,1,X Y U X Y ≤⎧=⎨ > ⎩
若若；0,21,2X Y V X Y ≤⎧=⎨ > ⎩若若.
求:(1)(,)U V 的联合概率分布； (2)(,)U V 关于U 和V 的边缘概率分布；
(3)U 和V 的相关系数.
5.(5分）设由来自总体~(,0.09)X N μ的长度为4的样本，得样本均值13X =， 求未知参数μ的置信度为0.95的置信区间.
6.(10分）设总体X 的分布函数为
11,1,(,)0,
1,x F x x x θθ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩ ，
其中1θ>为未知参数，且1X ，… ，n X 是来自总体X 的随机样本， 求:(1)参数θ的矩估计量；
(2)参数θ的极大似然估计量.
7.(8分）设1()N t 和2()N t 分别是强度为1λ和2λ的相互独立的泊松过程，令12()()()X t N t N t =+， 0t >，求()X t 的均值函数、方差函数、自相关函数和自协方差函数.
8.(10分）设马氏链{,0}n X n ≥ 的状态空间为{1,2,3}I = ，它有一步转移概
率矩阵0.10.20.70.90.100.10.80.1P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，初始分布为0{1}0.3P X ==， 0{2}0.4P X ==， 0{3}0.3P X ==， 求：
(1) 计算012{1,2,3}P X X X === ；
(2) 计算1220(2){2|1
}P P X X ===； (3) 计算22(2){2}P P X ==.。