抛物线的焦点弦问题
抛物线的焦半径
抛物线上一点P x0 , y0 与焦点的连线叫抛物
线的焦半径 .
(1) y2 2 px, (2) y2 2 px, (3)x2 2 py, (4)x2 2 py,
|
PF
|
x0

p; 2
p | PF | - x0 2
p | PF | y0 2
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y2 2 px B
( p 0)的轴上的一个定点， 过M的
直线交抛物线于A(x1, y1)、B (x2, y2 )
两点,求证 : y1 y2与x1x2均为定值.
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
与抛物线交于A, B两点,求线段AB的长. y
解法1: 直线AB的方程为y x 1,
A
代入双曲线方程得 : x2 6x 1 0
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ), 则x1 x2 6, x1 x2 1,
F
x
KO
| AB | 112 ( x1 x2 )2 4x1 x2 8
交抛物线于A, B两点, 通过点A
A
和 抛 物线顶点的直线交抛物 o
线的准线于点D ,求 证 :直线
F DB
x
DB平行于抛物线的对称轴.
分析 我们用坐标法证明,即通 过建立抛物线及直线的方程, 借
图2.3 5
助方程研究直线DB与抛物线对
称轴之间的位置关系.
建立如图2.3 5所示的直角坐标系,只要证明 点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
这条抛物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
求证 : y1 y2 p2.
y
联想2 :由于直线AB过点焦点F ( p ,0) 2
A
时有y1 y2 p2成立， 那么反之是否
也成立 ?
OFx
变题2 : 抛物线y2 2 px( p 0)上 B
两个动点A(x1, y1)、B (x2, y2 ), 若
由4、5得, DB // x轴,故DB 平行于抛物线的对称轴.
你还有其他证明方法吗?
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题1:求证 :| AB | x1 x2 p
B
解法2 :|
AB
|
( x1

p) 2

( x2

p) 2
x1 x2 p 6 2 8
抛物线的焦点弦
过抛物线焦点的弦叫焦点弦,设焦点弦端点
A x1, y1 , B x2 , y2 ,则
(1) y2 2 px,
| AB | x1 x2 p;
(2) y2 2 px, | AB | p x1 x2
求证 : y1 y2 p2.
y
联想4 : 对变题3进行逆向联想，
结论是否成立 ?
A
变题4 : 抛物线y2 2 px( p 0)上O F x
两动点A(x1, y1)、B (x2 , y2 )满足
B
y1 y2 k(k是常数),则直线AB恒
过定点.
例5 过抛物线焦点F 的直线 l y
(3)x2 2 py,
| AB | y1 y2 p
(4)x2 2 py, | AB | p y1 y2
例：过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2 ,
求证 : y1 y2 p2.
y
证法 :因直线AB过定点F且与x轴
联立2、3,可得D点的纵坐标为y p2 . 4
y0
因为点F的坐标是
p 2
,0 , 所以
ly A
直线AF的方程为 y y0

x

p 2
y02 2p

p 2
.
o F
DB
x
与 y2 2 px联立,可得B点的纵 图2.3 5
坐标为y p2 . 5
y0
求证 : y1 y2 p2.
y
联想 : 在同样的条件下， 注意到
y1y2 p2, 那么x1x2 ________?
变题1: 过抛物线y2 2 px( p 0)焦点O
F的直线， 交抛物线于点A(x1, y1)、
B(x2 , y2 ), 则有x1x2

p2 4
.
A
Fx B
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
|
PF
|
- y0

p 2
例1 :
(1)抛物线y2 x上一点P到焦点的
距离为2,则P点的坐标为__答_案__: P___74_,.
7
2

(2)抛物线y2 2x上两点A, B到焦点的距离
之和是5,则线段AB中点横坐标是 _答_案_:_2..
例2.斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点,
y1 y2 p2 ,则直线AB过抛物线 焦点F.
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
求证 : y1 y2 p2.
联想3 :由于焦点比较特殊，
对于在抛物线的轴上的一
y A
般的点， 结论又会怎样呢?
OFx
解 : AB AF BF

( x1

p 2
)

(
x2

p) 2
x1 x2 p
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
证明 如图2.3 5,以抛物线 对称轴为x轴,它的顶点为原
ly A
点, 建立直角坐标系.
o
F
x
设抛物线方程为y2 2 px, 1 D B
点A的坐标为
y02 2p
,
y0

,
则直
图2.3 5
线OA的方程为y 2 p x, 2
y0
抛物线的准线方程为x


p 2
.
3
不平行， 所以可设直线AB的方程:
x my p , 代入y2 2 px,得
O
2
y2 2 pmy p2 0.

y1、y
是上述方程的两个根，
2
则
y1 y2 p2.
A
Fx B
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条பைடு நூலகம்物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,