一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D 从点A 出发沿射线AC方向以每秒5 个单位的速度运动，同时动点E 从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥ AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB 相似时，求t 的值．点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm 的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x 为何值时，PQ∥ BC？（2）△APQ 与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．2.如图，在△ ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）① 当t=2.5s 时，求△ CPQ的面积；② 求△ CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q 移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t 的值．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0< t <6）。
（1）当t 为何值时，△ QAP为等腰直角三角形？（2）当t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似？3.如图1，在Rt△ ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB交边BC 于点E，EM⊥ BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD 时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD 为何值时，△BME与△CNE相似？二、构造相似辅助线——双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（2，1），正比例函数y=kx 的图象与线段OA 的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．7.在△ABC中，AB= ，AC=4，BC=2，以AB 为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，4.如图所示，在△ ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm ，11.如图：△ABC中，D 是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD 于F。
12.四边形ABCD 中，AC 为AB、AD 的比例中项，且AC平分∠DAB。
求证：14.已知：如图，在△ABC中，M 是AC的中点，E、F求证：8.在△ ABC 中，AC=BC，9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x 轴上，边OC在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B 点落在D点的位置，且AD交y 轴于点E．那么D 点的坐标为（）13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E 为AD 边上的任意一点，EF∥ AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：10..已知，如图，直线y=﹣2x ＋2 与坐标轴交于A、B 两点．以AB 为短边在第一象限EF= ；（2）当时，(1)当时，EF=(3)当时，EF= ．当时，参照上述研a、b和k表示EF的一般结论，并究结论，请你猜想用给出证明．做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。
求C、D 两点的坐标。
求线段CD 的长．∠ACB=90 ，°点M 是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN 折叠，使得点C恰好落在边AB上的P 点．求证：MC：NC=AP：PB．三、构造相似辅助线是 BC 上的两点，且 BE ＝ EF ＝FC 。
求 BN ： NQ ：QM ．五、 相似之共线线段的比例问题15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于 该顶点对边上中线长的 ．（注：重心是三角形三条中线 的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分 对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比18.如图，在 △ABC 中，已知 方形 EFGH 的四个顶点分别在 求证： ．CD 为边 AB 上的高，正△ABC 上。
四、 相似类定值问题16.如图，在等边 △ ABC 中， M 、N 分别是边 AB ，AC 的中点，D 为 MN 上任意一点， BD 、CD 的延长线分别交 AC 、AB 于点 E 、 F ．求证： ．19. 已知，在 △ABC 中作内接菱形 CDEF ，设菱形的边长为 a ．求证： ．17.已知：如图，梯形 ABCD 中， AB//DC ，对角线 AC 、 BD交于 O ，过 O 作 EF//AB 分别交 AD 、BC 于 E 、F 。
求证： ．20. （1）如图 1，点 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上，一直线过点 P 分别交 BA ，BC 的延长线于点Q ， S ，交于点 ．求证：2）如图 2，图 3，当点 在平行四边形 ABCD 的对角线或 的延长线上时， 是否仍然成立？23.已知如图， P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过 P的直线与 AD 、BC 、 CD 的延长线、 AB 的延长线分别相交于点E 、F 、G 、H.求证：21. 已知：如图， △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是中线， P 是 AD 上一点，过 C 作 CF ∥ AB ，延长 BP 交 AC 于 E ，交 CF 于 F ．求证： BP 2＝PE ·PF ．若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅22.如图，已知ΔABC 中，AD ， BF 分别为 BC ，AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E ，交 BF 于 G ，交 AC 延长线于 H 。
求证：DE 2=EG?EHE是AC的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.（1）求证：.（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由.六、相似之等积式类型综合证：．26 如图，在Rt△ ABC中，CD 是斜边AB上的高，点M 在CD上，DH⊥ BM 且与AC的延长线交于点E.求证：（1）△AED∽ △CBM；（2）29.如图，BD、CE分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG⊥BC于G，分别交CE及BA 的延长线于F、H。
求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH27.如图，△ABC是直角三角形，∠ ACB=90°，CD⊥AB于D，七、相似基本模型应用30.△ ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90 ，°△DEF的顶点E 位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB 交于点M，EF与AC交于点24.已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥ BC于D，H 为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD 上有一点P，且∠BPC为直角．求证：PD2＝AD·DH 。
25.已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED 的延长线交CA于F。
28.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD 相交于点N．求求证：N，求证：△BEM∽△ CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外）；（2）求BP：PQ：QR．1.答案：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4∴AB=5又∵AD=AB，AD=5t∴t=1，此时CE=3，∴DE=3+3-5=132.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：∴∠CDE=∠ BDE∵∠CDB为△CDB的一个外角∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE ∴∠ACD=∠ CDE∴DE∥AC（2）① ∠NCE=∠MBE ∵EM⊥BD，EN⊥CD，∴△BME∽△CNE，如图② △DEG∽△ BCA，此时，即：，求得：t= ；∵∠NCE=∠ MBE ∴BD=CD又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90° ∴∠ ACD=∠ A∴AD=CD① △DEG∽△ ACB，此时，即：，求得：t=如图，当点D 在点E右侧，即：t> 时，DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：③ △DEG∽△ ACB，此时，即：，求得：t= ；④ △DEG∽△ BCA，此时，∴AD=BD= AB∵在Rt△ABC中，ACB＝90 °，AC＝6，BC＝8 ∴AB=10∴AD=5② ∠NCE=∠ MEB∵EM⊥BD，EN⊥CD，∴△BME∽△ENC，如图即：，求得：t= ．综上，t 的值为或或或．3.答案：解：(1)证明：∵ AD=CD ∴∠A=∠ACD∵DE 平分CDB交边BC于点E ∵∠NCE=∠ MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵在Rt△ABC中，ACB＝90 °，AC＝6，BC＝8 ∴AB=10∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC2)如图当点D在点E左侧，即：0≦t≦ 时，DE=3t+3-5t=3-2t ．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：综上：AD=5或时，△BME 与△CNE相似．4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当PQ∥ BC 时，，即：解得：解得：（符合题意）此时：AP= cm故AP= cm 或20cm 时，△APQ 与△CQB能相似．5.答案：解：设运动时间为t ，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t．（1）若△QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：6-t=2t ，t=2（符合题意）∴t=2 时，△ QAP为等腰直角三角形．（2）∠ B=∠ QAP=9°0① 当△ QAP∽△ ABC时，，即：，解得：（符合题意）；② 当△PAQ∽△ ABC时，，即：，解得：（符合题意）．P 为顶点的三角① △APQ∽△ CBQ，则，即解得：或（舍）此时：AP= cm② △APQ∽△ CQB，则，即B，过点A 作平B作BD⊥ AC＝90°当或时，以点Q、A、形与△ABC相似．6.答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象过点A 作AB⊥OA，交待求直线于点行于y 轴的直线交x 轴于点C，过点则由上可知：由双垂直模型知：△OCA∽ △ ADB∴∵A（2，1），＝45 °∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1∴ D 点坐标为（2，3）∴B 点坐标为（1，3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况，图象经过第二、四象限过点A 作AB⊥OA，交待求直线于点行于x 轴的直线交y 轴于点C，过点则由上可知：由双垂直模型知：△OCA∽ △ ADB∴B，过点A 作平B作BD⊥ AC＝90°∵A（2，1），＝45∴OC＝1，AC＝2，AO＝AB2）能，AP= cm 或AP=20cm∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2∴D 点坐标为（3，1）∴B 点坐标为（3，﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y＝x7.答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：证明：方法连接PC，过点P 作PD⊥AC于D，则PD//BC根据折叠可知MN ⊥CP∵∠2+∠PCN=90 ，°∠PCN+∠CNM=90 ∴∠2=∠CNM∵∠ CDP=∠ NCM=90 ° ∴△PDC∽MCN∴MC：CN=PD：DC ∵PD=DA ∴MC：CN=DA：DC ∵PD//BC ∴DA：DC=PA：PB ∴MC：CN=PA：PB方法二：如图，过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E由双垂直模型，可以推知△ PMD∽NPE ，则过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G ，过点 D 作 y 轴的 平行线交 x 轴于 F ，交 GC 的延长线于 E 。