2015 年四川省成都市高考数学零诊试卷（理科）一、选择题．本大题共10小题，每小题5 分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）（2014•成都模拟）已知向量=（5，﹣3），=（﹣6，4），则+ =（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）2．（5 分）（2014•成都模拟）设全集U=｛1，2，3，4｝，集合S=｛l，3｝，T=｛4｝，则（∁U S）A∪．T｛等2，于4（｝ B．）｛ 4｝ C．∅D．｛1，3，4｝3．（5 分）（2014•成都模拟）已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p 为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5 C．∃x0∈R，2 =5 D．∃x0∈R，2 ≠54．（5 分）（2014•成都模拟）计算21og63+log64 的结果是（）A．log62 B．2 C．log63 D．35．（5分）（2015•青岛模拟）已知实数x，y 满足，则z=4x+y 的最大值为（）A．10 B．8 C．2 D．06．（5分）（2014•成都模拟）关于空间两条不重合的直线a、b和平面α，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥α B．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b7．（5 分）（2014•成都模拟）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 微米的颗粒物，也称为可A 肺颗粒物，般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10 日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是（）A．这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等B．这10 日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C．这10 日内乙监测站读数的众数与中位数相等D．这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等8．（5 分）（2014•成都模拟）已知函数f（x）= sinωx+cosωx（ω>0）的图象与直线y=﹣2 的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f （x ）的单调递减区间是（）10．（5 分）（2015•河南模拟）如图，已知椭圆 C l ： +y 2=1，双曲线C 2：=1（a >0，b >0），若以C 1的长轴为直径的圆与 C 2的一条渐近线相交于 A ，B 两点，且C 1与该 渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分答案填在答题卡上．11．（5 分）（2015•兰州一模）已知 α∈（0， ）， cos α= ，则 sin （π﹣α）=12．（5 分）（2014•成都模拟）当 x >1 时，函数 的最小值为13 ．（ 5 分）（ 2014• 成都模拟）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积14．（5 分）（2014•成都模拟）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是 ．A ． C ． 9． ［k π+ ，k π+］，k ∈z B ．［k π﹣ ，k π+ ］，k ∈z ［2k π+ ，2k π+ ］，k ∈z D ．［2k π﹣ ，2k π+ ］，k ∈z5 分）（2014• 成都模拟）已知定义在 R 上的偶函数 f （x ）满足 f （4﹣x ）=f （x ），且当 x ∈ ﹣1，3］时，f （x ）= 则 g （x ） =f （ x ）﹣|1gx|的零点个数 是（ A ) 7 B ．8 C ．9 D ．10 5 B ．C ．D ．15．（5 分）（2014•成都模拟）已知直线y=k（x+ ）与曲线y= 恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+ =l上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l 对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B 中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1>λ2 的概率是．三、解答题：本大题共6小题，共75 分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）（2014•成都模拟）已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，且a2=3，S7=49，n∈N*．（I）求数列｛a n｝的通项公式；（Ⅱ）设b n= ，求数列｛b n｝的前n 项和T n．17．（12 分）（2014•成都模拟）在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c）且• =0．（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin（A+ ）的值域．18．（12 分）（2014•成都模拟）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地（I）已知该地区共有高二学生42500 名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B，C，D，E，F 六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率．19．（12 分）（2014•成都模拟）如图，已知⊙O 的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B 的（一I点），求V证C：⊥B平C面⊥A平B面C，VA且C；VC =2，点M为线段VB的中点．20．（13分）（2014•成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2=4上一动点，PD⊥x 轴于点D，记满足= （+ ）的动点M 的轨迹为Γ．（Ⅰ）求轨迹Γ 的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG 交①轨证迹明F：于λ2点m2Q=4，k2且+1；= λ ，λ∈R．②求△AOB 的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．21．（14 分）（2014•成都模拟）巳知函数f（x）=x1nx，g（x）= ax2﹣bx，其中a，b∈R．（I）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）当a>0，且a为常数时，若函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1>x2≥4，总有>0 成立，试用a 表示出b的取值范围；（Ⅲ）当b=﹣ a 时，若f（x+1）≤ g（x）对x∈[0，+∞）恒成立，求 a 的最小值．2015 年四川省成都市高考数学零诊试卷（理科）参考答案与试题解析（I ）求数列｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）设 b n = ，求数列｛b n ｝的前 n 项和 T n ．【分析 （Ⅰ）根据等差数列，建立方程关系即可求数列｛a n ｝的通项公式． （Ⅱ）求出数列｛b n ｝的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差是 d ， ∵a 2=3，S 7=49，∴ ，解得∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．n则数列｛b n ｝为等比数列，则数列｛b n ｝的前 n 项和T n = ． 17．（ 12 分）（2014•成都模拟）在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知 向量 =（a ﹣b ，c ﹣a ）， =（a+b ，c ）且 • =0．Ⅰ）求角 B 的大小；Ⅱ）求函数 f （A ）=sin （A+ ）的值域．解答】解：（Ⅰ）∵ =（a ﹣b ，c ﹣a ）， =（a+b ，c ），且 • =0，∴（a ﹣b ）（ a+b ）﹣c （a ﹣c ）=0，即 a 2+c 2=b 2+ac ，∴cosB= = ， ∵B ∈（0，π）， ∴B= ；Ⅱ）由（Ⅰ）得：A=π﹣ ﹣C ∈（0，），∴A+ ∈（ ， ），一、选择题1.D ．2．.A ．3.D ．4． B ．5． B ．6． D7． 二、填空题：A9． D ．10． C ． 16．（ 12分）（2014•成都模拟）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且a 2=3，S 7=49，n ∈N *． C ．8． 15．Ⅱ）b n =∴sin （A+ ）∈（ ，1］，则 f （A ）=sin （A+ ）的值域为（ ，1］．18．（ 12 分）（2014•成都模拟）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地认为作业多 认为作业不多 总数喜欢电脑游戏72名 36名 108 名 不喜欢电脑游戏32名 60名 92名 （I ）已知该地区共有高二学生 42500 名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为 作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A ，B ，C ，D ，E ，F 六名学生中，但有 A ，B 两名学生认为作业多如果从速六名【分析 （机I ）抽根取据两样名本，数求据至统少计有表一，名可学得生2认00为名作学业生多中的喜概欢率电．脑 游戏并认为作业不多的人有36 名，求出其占总人数的概率，再乘以高二学生的总数即可； （Ⅱ）求出至少有一名学生认为作业多的事件的个数，和从这六名学生中随机抽取两名的基【解答】个解：数（，Ⅰ两）者42相50除0×，即可求出至少有一 名学生认为作业多的概率是多少． 答：欢电脑游戏并认为作业不多的人有 7650 名．（Ⅱ）从这六名学生中随机抽取两名的基本事件的个数是 至少有一名学生认为作业多的事件的个数是：15﹣ =15﹣6=9（个）所有至少有一名学生认为作业多的概率是 ．答：至少有一名学生认为作业多的概率是 ． 19．（ 12 分）（2014•成都模拟）如图，已知⊙O 的直径AB=3，点C 为⊙O 上异于 A ，B 的 一（I 点），求V 证C ：⊥B 平C 面⊥A 平B 面C ，VA 且C ；VC =2，点M 为线段VB 的中点．Ⅱ）若AC=1，求二面角 M ﹣VA ﹣C 的余弦值．分析（Ⅰ）由线面垂直得 VC ⊥BC ，由直径性质得 AC ⊥BC ，由此能证明 BC ⊥平面VAC ． Ⅱ）分别以 AC ，BC ，VC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向【解答 （出Ⅰ二）面证角明M ：﹣∵V V A C ﹣⊥C 平的面余A 弦BC 值，．B C ⊂平面 ABC ，∴VC ⊥BC ， ∵点C 为⊙O 上一点，且AB 为直径，∴AC ⊥BC ， 又∵VC ，AC ⊂平面 VAC ，VC ∩AC=C ，∴BC ⊥平面 VAC ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得BC ⊥VC ，VC ⊥AC ，AC ⊥BC ，第6页（共10页）分别以 AC ，BC ，VC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，则 A （ 1， 0 ， 0 ），V （ 0 ，0 ， 2 ），B （ 0 ， 2 ， 0 ），=（1，0，﹣2），， 设平面VAC 的法向量 = =（0，2 ，0），20 ．（ 13 分）（ 2014 • 成都模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是圆 x 2+y 2=4 上一动点， PD ⊥x 轴于点D ，记满足 = （ + ）的动点 M 的轨迹为 Γ．Ⅰ）求轨迹 Γ 的方程；Ⅱ）已知直线l ：y=kx+m 与轨迹F 交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点，射线OG 交①轨证迹明F ：于λ2点m 2Q =4，k 2且+1；= λ ，λ∈R ．②求△AOB 的面积 S （λ）的解析式，并计算 S （λ）的最大值．【分析 （Ⅰ）利用代入法求椭圆方程；（Ⅱ）设 A （x 1，y 1）， B （x 2，y 2），由直线代入椭圆方程，消去 y ，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2 ﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论．②由已知条件得m ≠0，|x 1﹣x 2|=，由此能求出△AOB 的面积，再利用基本 不等式求最大值．【解答】解：（Ⅰ）设 M （x ，y ）， P （x 0，y 0），则 D （x 0，0），且 x 02+y 02=4，① ∵ = （ + ），∴②x0代=x 入，①y0=可2y 得，x ②2+4 y 2=4；（由Ⅱ直）线代①入证椭明圆：方设程A ，（消x1去，y y 1，），得B （（1x +24，k 2y ）2）x ，2+ 8kmx+4m 2﹣4=0， 设平面VAM 的法向量 =（x ， y ，z ），∴，∴二面角 M ﹣VA ﹣C 的余弦值为 ． ，取y= ，得 ∴cos <∴x 1+x 2= ，x 1x 2= （1）∴y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m=又由中点坐标公式，得 G （ ， ），将 Q （ ， ）代入椭圆方程，化简，得 λ2m 2=1+4k 2 ，（2 ）．1），（2）得 m ≠0，λ>1 且|x 1﹣x 2|= ，（3）△AOB 令 =t ∈ （ 0 ， +∞ ），则 S= ≤ ≤1 （当且仅当 t=1 即 λ = 时取等号）， ∴λ= 时，S 取得最大值 1．21．（ 14 分）（2014•成都模拟）巳知函数 f （x ）=x1nx ，g （x ）= ax 2﹣bx ，其中 a ，b （I ）求函数 f （x ）的最小值；（Ⅱ）当 a >0，且a 为常数时，若函数 h （x ）=x[g （x ）+1]对任意的 x 1>x 2≥4，总有>0 成立，试用a 表示出 b 的取值范围；（Ⅲ）当 b=﹣ a 时，若 f （x+1）≤ g （x ）对 x ∈[0，+∞）恒成立，求 a 的最小值． 【分析 （I ）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．II ）由函数 h （x ）=x[g （x ）+1]对任意的 x 1>x 2≥4，总有 可得函数 h （x ）=在 x ∈[4，+∞）上单调递增．因此 h ′（x ）=ax 2﹣2bx+1≥0 在[4，+∞）上恒成立．变形为=ax+ 在[4，+∞）上恒成立⇔2b ≤ x ∈[4，+∞）．令 u （x ）=，x ∈[4，+∞）．对 a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出． >0 成立， 结合（2）、（3），得S 1，+∞），+∞）．由题意G（x）≤0 对x∈[0，+∞）恒成立．G′（x）=ln（x+1）+1﹣ax﹣a，II ）由函数 h （x ）=x[g （x ）+1]对任意的 x 1>x 2≥4，总有 ∴函数 h （x ）=在 x ∈[4，+∞）上单调递增．令 u ′（x ）=0，解得 ．∴u （x ）在上单调递减，在 上单调递增． 单调递增．u （x ）min == ，∴ ，即 ． ii ）当时，即 ，函数 u （x ）在[4，+∞）上单调递增， ∴ ，即 ．综上可得：当 时，即 ．当 ， ．III ）当 b=﹣ a 时，令 G （x ）=f （x+1）﹣ g （x ）=（x+1）ln （x+1） +∞）． 由题意 G （x ）≤0 对 x ∈[0，+∞）恒成立．G ′（x ）=ln （x+1）+1﹣ax ﹣a ，x ∈[0，+∞）． （i ）当 a ≤0 时，G ′（x ）>0，∴G （x ）在x ∈[0，+∞）上单调递增． ∴（G ii （）x 当）a >>G 0（时0，）令=0v 在（x x ∈）（=G 0，′（+x ∞），）成x ∈立[0，，+与∞题）．意 矛盾，应舍去． ，①当 a ≥1 时，v ′（x ）≤0 在 x ∈[0，+∞）上成立．∴v （x ）在 x ∈[0，+∞）单调递减．x ∈[0，+∞）． 解答】解： 对 a 分类讨论利用研究其单调性极值与最值即可．I ）f ′（x ）=lnx+1（x >0），令 f ′（x ）=0，解得 x= ．∴函数 f （x ） 在 上单调递减；在单调递增．∴当 x= 时， f （x ）取得最小值．且 h ′（x ）=ax 2﹣2bx+1≥0 在[4，+∞）上恒成立．∴ =ax+ 在[4，+∞）上恒成立⇔2b ≤ ，x ∈[4，+∞）． i ）当时，即 时，u （x ）在 上单调递减，在 ﹣ax ，x ∈[0， >0 成立， 令 u （ x ）=x ∈[4，+∞）．（a >0）．则上 则第11页（共10∴v （x ）≤v （0）=1﹣a ≤0，∴G ′（x ）在 x ∈[0，+∞）上成立．∴G （x ）在 x ∈[0，+∞）上单 ∴G （x ）≤G （0）=0 在 x ∈[0，+∞）成立，符合题意．，x ∈[0，+∞）．∵v （0）=1﹣a >0，∴v （x ）>0 在 上成立，即 G ′（x ）>0 在上成立， ∴G （x ）在 上单调递增，∴G （x ）>G （0）=0 在成立，与题意矛盾． 综上可知：a 的最小值为 1．∴v （x ）在 上单调递增， 在 单调递减．②当 0<a <1 时，。