16
2、在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取 一点Q，过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超 过1的概率是__________. 3
2
题组二：与角度有关的几何概型
在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一条 射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概 3 率. 4 变1:在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取 一点M,求使△ACM为钝角三角形的概率. 1 2 变2:在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取 一点M,求AM小于AC的概率. 2
m A 1 p( A) m 2
m B 3 p( B) m 8
思考:
在单位圆内有一点A，现在随 机向圆内扔一颗小豆子。
（1）求小豆子落点正好为点A的概率。 （2）求小豆子落点不为点A的概率。
A
结论：若A是不可能事件，则P(A)=0； 反之不成立 即：概率为0的事件不一定是不可能事件。 若A是必然事件，则P(A)=1； 反之不成立
A B
D C
S ABCD 11 1
事件A包含的区域为阴影部分
1 1 1 7 S阴影部分= 1- = 2 2 2 8
这是一个几何概型
S阴影部分 7 = 则，P(A)= SABCD 8
3.3.2几何概型
普通高中课程标准实验教科书 数学（必修3） 第二课时
复习回顾
• 1.古典概型与几何概型的区别.
2.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成 的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴 2 影区域内的概率为 , 则阴影区域的面积为 ( B )
3
A. 4 3
B. 8 3
C.
2 3
D. 无法计算
3.在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射线CM交 线段AB于M,求|AM|>|AC|的概率.
• 1.几何概型的特征：无限性、等可能性、可区域化 • 2.几何概型主要用于解决与测度有关的题目 m A P A m • 3.注意理解几何概型与古典概型的区别。 • 4.如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几 何概型公式求解。
当堂检测：
1.在区间［1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概率为 ( D ) A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
P(A)
问题2:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指 向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜 的概率是多少?
(1)如果在转盘上，区域B缩小为一 B 个单点，那么甲获胜的概率是多少？ A 构成事件“甲获胜”的区域长度是一个 单点的长度0，所以P(甲获胜)=0 (2)如果在转盘上，区域B扩大为整个转盘扣除一个单 点，那么甲获胜的概率是多少？ 。 构成事件“甲获胜”的区域长度是圆周的 A 长度减去一个单点的长度0，所以P(甲获胜)=1 B 归纳(1)概率为0的事件不一定是不可能事件 (2)概率为1的事件不一定是必然事件
2.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的 距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意 平抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平 行线碰的概率。 析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心 落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰, 故由几何概型的知识可知所求概率为：
1 P . 3
课堂小结
2
题组三：与体积有关的几何概型
1、已知棱长为2的正方体，内切球O，若在 正方体内任取一点，则这一点不在球内的概 率为_______.
1
6
2、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球， 假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求 这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.
26 27
例2: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上
1 P( A) 2
3 P( A) 5
分析:上述问题中,基本事件有无限多个,类似于古典概型 的“等可能性”还存在, 但不能用古典概型的方法求解. • 事实上,甲获胜的概率与黄色所在扇形区域的圆弧的 长度有关,而与黄色所在区域的位置无关.因为转转盘 时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区 域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.
（1）、无限性：基本事件的个数无限
（2）、等可能性：基本事件出现的可能性相同
几何概型的概率公式：
P(A)= 构成事件A的测度 (区域长度、面积或体积) 试验的全部结果所构成的测度 (区域长度、面积或体积)
m A 记为： P A m
古典概型
几何概型
等可能性
同
等可能性
有限性
异
EX3.一张方桌的图案如图所示．将一颗豆子随机地扔到桌 面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率: 4 （1）豆子落在红色区域； 1 9 （2）豆子落在黄色区域； 3 2 （3）豆子落在绿色区域； 9 2 （4）豆子落在红色或绿色区域； 3 5 （5）豆子落在黄色或绿色区域． 9
问题1:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指 向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜 的概率是多少?
。
示例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机, 想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的 概率.
分析：假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开收音 机是等可能的，但0~60之间有无穷个时刻， 可以通过几 何概型的求概率公式得到事件发生的概率。 又因为电台每隔1小时报时一次，他在0~60之间 任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时 间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与 该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。
（1）为古典概率模型, P（a 3 ）=7/10 （2）为几何概率模型, P（ PM 10） =1/6 是与长度有关的几何概型问题
基础训练： 1.长度问题：取一根长度为3m的绳子， 拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段 的长度都不小于1m的概率有多大？
解：由题意可得 1m 1m
3m
设 “剪得两段绳长都不小于1m”为事件A。
我们画一个与x、y有关系的图像
例2: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上
6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作 的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能 得到报纸(称为事件A)的概率是多少? 解：设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为y 试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD
无限性
A包含的基本事件的个数 p A 基本事件的总数
m A p A m
口答：
判断以下各题的是何种概率模型，并求相应概率 （1）在集合 A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 元素 a ,则 a 3 的概率为 中任取一个
（2）已知点O（0，0），点M（60，0），在线段OM上任取一 点P ，则 PM 10 的概率为
链接
即：概率为1的事件不一定是必然事件。
3.体积问题：有一杯1升的水,其中含有1 个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1 升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
解：由题意可得 设 “取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。 则：基本事件的全体 对应的几何区域为体积为1升的水 事件A对应的几何区域为体积为0.1升的水 故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：
x y
例2: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上
6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作 的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能 得到报纸(称为事件A)的概率是多少? 问题3：这是一个几何概型吗？那么事件A的概率与 什么有关系？长度、面积、还是体积？ 问题4：怎么求总区域面积？怎么求事件A包含的区 域面积？
则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A发生
故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：
m A 1 p( A) m 3
2.面积问题：如右下图所示的单位圆,假 设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分 别计算它落到阴影部分的概率.
解：由题意可得 设 “豆子落在第一个图形的阴影部分”为事件A， “豆子落在第二个图形的阴影部分”为事件B。 从而：基本事件的全体 对应的几何区域为面积为１的单位圆 事件A对应的几何区域为第一个图形的阴影部分面积１／２ 事件B对应的几何区域为第二个图形的阴影部分面积３／８ 故几何概型的知识可知，事件A、B发生的概率分别为：
EX1.已知:公共汽车在0~5分钟内随机地到达车站， 求汽车在1~3分钟之间到达的概率。
分析：将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长 度的线段，则1~3分钟是这一线段中的2个单位长度。
解：设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A，
3 1 2 则 P( A ) 5 5
2 答：“汽车在1~3分钟之间到达”的概率为 ; 5
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检测3：
[析]:如图所示, 因为过一点作射线是均匀的 ,因而应把在∠ACB内作射 线CM看做是等可能的,基本 事件是射线CM落在∠ACB内 任一处,使|AM|>|AC|的概 率只与∠BCC′的大小有关 ,这符合几何概型的条件.
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题组一：与长度有关的几何概型
1、当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间 为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为 45秒，你看到黄灯的概率是多少_______. 1
1 若把转盘的圆周的长度设为1， 1 2 则以转盘（1）为游戏工具时， P("甲获胜" )
3 1 2 3 以转盘（2）为游戏工具时，P("甲获胜" ) 5 1 5
几何概型的定义(重申与回顾)
• 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型,简称为几何概型. • 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 . (2)每个基本事件出现的可能性相等.