2020年广东省佛山市顺德区中考数学测试试卷一．选择题（共10小题）1．（3分）下列计算正确的是( ) A ．235()x x =B ．3515()x x =C ．4520x x x =D ．326()x x --=2．（3分）与2是同类二次根式的是( ) A ．27B ．6C ．13D ．83．（3分）如图所示的几何体是由3个大小完全一样的正方体组成，则从左面看这个几何体得到的平面图形是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）据统计，2019年醴陵高铁站年客运进出量约为237000人次．将237000用科学记数法表示为( ) A ．423.710⨯B ．52.3710⨯C ．62.3710⨯D ．523.710⨯5．（3分）为了建设“书香校园”，某班开展捐书活动班长将本班44名学生捐书情况统计如下： 捐书本数 2 3 4 5 8 10 捐书人数25122131该组数据捐书本数的众数和中位数分别为( ) A ．5，5B ．21，8C ．10，4.5D ．5，4.56．（3分）若x y >，则下列式子错误的是( ) A ．33x y ->-B ．33x y> C ．22x y -<- D ．33x y ->-7．（3分）不等式2(2)1x x --的非负整数解的个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（3分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，8AD =，4DB =，6AE =，则EC 的长为()A ．1B ．2C ．3D ．49．（3分）如图，在菱形ABCD 中，AE ，AF 分别垂直平分BC ，CD ，垂足分别为E ，F ，则EAF ∠的度数是( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒10．（3分）如图，由六个边长为1的小正方形组成的网格图中，ABC ∆的各个顶点都在格点上，则sin BAC ∠的值是( )A ．2B ．12C ．5D ．55二．填空题（共7小题）11．（3分）扇形的半径为6cm ，面积为22cm π，则此扇形的圆心角为 ． 12．（3分）分解因式：229m n -= ．13．（3分）如图，在正方形网格中，123∠+∠+∠= ．14．（3分）已知22m a =，4m b =，则2()m a b = ． 15．（3|1|0a b b -+-=，则1a += ．16．（3分）如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，BAC ∠与BCA ∠的三等分线分别交于点D 、E 两点，则ADC∠的度数是．17．（3分）如图，在四边形ABCD中，//AD BC，AD BC<，90ABC∠=︒，且3AB=，点E是边AB上的动点，当ADE∆，BCE∆，CDE∆两两相似时，则AE=．三．解答题（共8小题）18．计算：23tan302sin60cos45︒-︒+︒．19．先化简，再求值：222442342x x xx x x-+-÷+-+，其中3x=-．20．老师布置了一道题目，过直线l外一点P作直线l的垂线．（尺规作图）小明同学的作法如下①在直线l上任取两点A、B；②以A为圆心，AP长为半径画弧，以B为圆心，BP长为半径画弧，两弧交于点Q，如图所示；③作直线PQ．则直线PQ就是所要作的图形．（1）请你用另一种作法完成这道题；（保留作图痕迹，不写作法）（2）请你选择其中的一种作法加以证明．21．一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数1-，2，3-，4．（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为 ． （2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．22．如图，矩形ABCD 中，AB AD >，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ． （1）求证：ADE CED ∆≅∆； （2）求证：DEF ∆是等腰三角形．23．某剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出：如果票价毎增加1元，那么售出的门票就减少30张．（1）设每张票价增加x 元，则现在可售出门票的张数为 ；（用含有x 的代数式表示） （2）要使的门票收入达到36750元，票价应定为多少元？24．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是(0,2)A和(23C，0)，点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE DB⊥，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为；（2）是否存在这样的点D，使得DEC∆是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：33 DEDB=；②设AD x=，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．2020年广东省佛山市顺德区中考数学测试试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（3分）下列计算正确的是( ) A ．235()x x =B ．3515()x x =C ．4520x x x =D ．326()x x --=【解答】解：A ．236)x x =，故本选项不合题意；B ．3515()x x =，正确，故本选项符合题意；C ．459x x x =，故本选项不合题意；D ．326()x x --=-，故本选项不合题意．故选：B ．2．（3( )A B C D【解答】2．A 、原式=3的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．B 、该二次根式的被开方数是6项不符合题意．C 、原式=，其被开方数是3项不符合题意．D 、原式=，其被开方数是2的被开方数相同，它们是同类二次根式，故本选项符合题意． 故选：D ．3．（3分）如图所示的几何体是由3个大小完全一样的正方体组成，则从左面看这个几何体得到的平面图形是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从左面看这个几何体只有一列， 故选：C ．4．（3分）据统计，2019年醴陵高铁站年客运进出量约为237000人次．将237000用科学记数法表示为( ) A ．423.710⨯B ．52.3710⨯C ．62.3710⨯D ．523.710⨯【解答】解：5237000 2.3710=⨯， 故选：B ．5．（3分）为了建设“书香校园”，某班开展捐书活动班长将本班44名学生捐书情况统计如下： 捐书本数 2 3 4 5 8 10 捐书人数25122131该组数据捐书本数的众数和中位数分别为( ) A ．5，5B ．21，8C ．10，4.5D ．5，4.5【解答】解：由表可知，5出现次数最多，所以众数为5； 由于一共调查了44人，所以中位数为排序后的第22和第23个数的平均数，即：5． 故选：A ．6．（3分）若x y >，则下列式子错误的是( ) A ．33x y ->-B ．33x y> C ．22x y -<- D ．33x y ->-【解答】解：A 、x y >，根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，33x y ->-，正确，不符合题意；B 、不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不改变，故33x y>，正确，不符合题意；C 、x y >，根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，故22x y -<-，正确，不符合题意；D 、不等式两边同时乘以1-，再加上3，不等号的方向改变，故33x y ->-，错误，符合题意； 故选：D ．7．（3分）不等式2(2)1x x --的非负整数解的个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：241x x --3xx 是非负整数，0x ∴=，1，2，3故选：D ．8．（3分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，8AD =，4DB =，6AE =，则EC 的长为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：//DE BC ，∴AD AE DB EC =，即864EC=， 解得，3EC =， 故选：C ．9．（3分）如图，在菱形ABCD 中，AE ，AF 分别垂直平分BC ，CD ，垂足分别为E ，F ，则EAF ∠的度数是( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【解答】解：连接AC ，AE 垂直平分边BC ，AB AC ∴=，又四边形ABCD 是菱形， AB BC ∴=， AB AC BC ∴==， ABC ∴∆是等边三角形， 60B ∴∠=︒， 120BCD ∴∠=︒，又AF 垂直平分边CD ，∴在四边形AECF 中，36018012060EAF ∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．10．（3分）如图，由六个边长为1的小正方形组成的网格图中，ABC ∆的各个顶点都在格点上，则sin BAC ∠的值是( )A ．2B ．12C 5D 5 【解答】解：由勾股定理得：222228AB =+=，222112BC =+=，2223110AC =+=， 222AB BC AC ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，90ABC ∠=︒，25sin 10BC BAC AC ∴∠===； 故选：D ．二．填空题（共7小题）11．（3分）扇形的半径为6cm ，面积为22cm π，则此扇形的圆心角为 120︒ ． 【解答】解：设扇形的圆心角是n ︒，根据扇形的面积公式得262360n ππ⨯=， 解得120n = 故答案为：120︒12．（3分）分解因式：229m n -= (3)(3)m n m n +- ． 【解答】解：原式22(3)(3)(3)m n m n m n =-=+-， 故答案为：(3)(3)m n m n +-．13．（3分）如图，在正方形网格中，123∠+∠+∠= 135︒ ．【解答】解：在ABC ∆和ADE ∆中AB ADB D CB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ADE SAS ∴∆≅∆， 43∴∠=∠， 1490∠+∠=︒， 3190∴∠+∠=︒， 245∠=︒，123135∴∠+∠+∠=︒，故答案为：135︒．14．（3分）已知22m a =，4m b =，则2()m a b = 64 ． 【解答】解：224m a ==，4m b =，2()m a b ∴2m m a b =2()m m a b =244=⨯164=⨯64=．故答案为：64．15．（3分）已知|1|0a b b -+-=，则1a += 2 ．【解答】解：|1|0a b b -+-=，10b ∴-=，0a b -=，解得：1b =，1a =，故12a +=．故答案为：2．16．（3分）如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，BAC ∠与BCA ∠的三等分线分别交于点D 、E 两点，则ADC ∠的度数是 100︒ ．【解答】解：在ABC ∆中，60B ∠=︒，180120BAC BCA B ∴∠+∠=︒-∠=︒．BAC ∠与BCA ∠的三等分线分别交于点D 、E 两点，23DAC BAC ∴∠=∠，23DCA BCA ∠=∠， 2()803DAC DCA BAC BCA ∴∠+∠=∠+∠=︒， 180()18080100ADC DAC DCA ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．故答案为：100︒．17．（3分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC <，90ABC ∠=︒，且3AB =，点E 是边AB 上的动点，当ADE ∆，BCE ∆，CDE ∆两两相似时，则AE = 32或1 ．【解答】解：分两种情况：①当90CED ∠=︒时，如图1，过E 作EF CD ⊥于F ，//AD BC ，AD BC <，AB ∴与CD 不平行，∴当ADE ∆、BCE ∆、CDE ∆两两相似时，BEC CDE ADE ∴∠=∠=∠，90A B CED ∠=∠=∠=︒，BCE DCE ∴∠=∠，AE EF ∴=，EF BE =，1322AE BE AB ∴===， ②当90CDE ∠=︒时，如图2，当ADE ∆、BCE ∆、CDE ∆两两相似时，60CEB CED AED ∴∠=∠=∠=︒，30BCE DCE ∴∠=∠=︒，90A B ∠=∠=︒，2BE ED AE ∴==，3AB =，1AE ∴=，综上，AE 的值为32或1． 故答案为：32或1． 三．解答题（共8小题）18．计算：23tan302sin60cos 45︒-︒+︒．【解答】解：23tan302sin60cos 45︒-︒+︒233232(2=+ 1332= 12=． 19．先化简，再求值：222442342x x x x x x-+-÷+-+，其中3x =-． 【解答】解：原式2(2)(2)3(2)(2)2x x x x x x -+=+-+-， 3x =+．当3x =-时，原式330=-+=．20．老师布置了一道题目，过直线l 外一点P 作直线l 的垂线．（尺规作图）小明同学的作法如下①在直线l上任取两点A、B；②以A为圆心，AP长为半径画弧，以B为圆心，BP长为半径画弧，两弧交于点Q，如图所示；③作直线PQ．则直线PQ就是所要作的图形．（1）请你用另一种作法完成这道题；（保留作图痕迹，不写作法）（2）请你选择其中的一种作法加以证明．【解答】解：（1）如图，PM为所作；（2）对小明的作法进行证明：由作法得AP AQ=，=，BP BQ∴点A在PQ的垂直平分线上．点B在PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分PQ，∴直线PQ就是直线l的垂线．21．一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数1-，2，-，4．3（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为12．（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．【解答】解：（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率21 42 ==；故答案为12；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8，所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率82 123==．22．如图，矩形ABCD中，AB AD>，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E 处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：ADE CED∆≅∆；（2）求证：DEF∆是等腰三角形．【解答】证明：（1）四边形ABCD是矩形，AD BC∴=，AB CD=．由折叠的性质可得：BC CE=，AB AE=，AD CE∴=，AE CD=．在ADE∆和CED∆中，AD CE AE CD DE ED=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ADE CED SSS∴∆≅∆．（2）由（1）得ADE CED∆≅∆，DEA EDC∴∠=∠，即DEF EDF∠=∠，EF DF ∴=，DEF ∴∆是等腰三角形．23．某剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出：如果票价毎增加1元，那么售出的门票就减少30张．（1）设每张票价增加x 元，则现在可售出门票的张数为 (120030)x - ；（用含有x 的代数式表示）（2）要使的门票收入达到36750元，票价应定为多少元？【解答】解：（1）可售出门票的张数为(120030)x -张．故答案为：(120030)x -．（2）依题意，得：(30)(120030)36750x x +-=，整理，得：210250x x -+=，解得：125x x ==，3035x ∴+=．答：票价应定为35元．24．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将(0,3)-代入y x m =+，可得：3m =-；（2）将0y =代入3y x =-得：3x =，所以点B 的坐标为(3,0)，将(0,3)-、(3,0)代入2y ax b =+中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：2133y x =-； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则451560ODC ∠=︒+︒=︒， tan303OD OC ∴=︒=设DC 为3y kx =-，代入(30)，可得：3k =联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：12120,36x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩所以1M 6)；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则451530OEC ∠=︒-︒=︒， 60OCE ∴∠=︒，tan 60OE OC ∴=︒=设EC 为3y kx =-，代入，0)可得：k ，联立两个方程可得：23133y y x ⎧-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：12120,32x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩所以2M 2)-，综上所述M的坐标为，6)或2)-．25．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形ABCO 是矩形，点A ，C 的坐标分别是(0,2)A和C ，0)，点D 是对角线AC 上一动点（不与A ，C 重合），连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1）填空：点B 的坐标为；（2）是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：DE DB = ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．【解答】解：（1）四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，23OC AB ==，90BCO BAO ∠=∠=︒， (23B ∴，2)． 故答案为(232)．（2）存在．理由如下：2OA =，23OC =3tan AO ACO OC ∠==， 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图1中，当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形，观察图象可知，只有ED EC =， 30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形．②如图2中，当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形，只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，23AB AD ∴==综上所述，满足条件的AD 的值为2或23（3）①如图1，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ， (0,2)A 和(23C ，0)， ∴直线AC 的解析式为323y x =-+， 设3(,2)3D a a -+， 323DN a ∴=-+，23BM a =- 90BDE ∠=︒，90BDM NDE ∴∠+∠=︒，90BDM DBM ∠+∠=︒， DBM EDN ∴∠=∠，90BMD DNE ∠=∠=︒， BMD DNE ∴∆∆∽，∴3233323a DE DN BD BM a -+===-．②如图2中，作DH AB ⊥于H ．在Rt ADH ∆中，AD x =，30DAH ACO ∠=∠=︒， 1122DH AD x ∴==，223AH AD DH x =-=， 323BH x ∴=， 在Rt BDH ∆中，222213()(23)22BD BH DH x x =++-， 223313()(23)22DE x x ∴==+-第21页（共21页） ∴矩形BDEF 的面积为22223133[()(23)](612)3223y x x x x =+-=-+， 即2323433y x x =-+， 23(3)33y x ∴=-+， 303>， 3x ∴=时，y 有最小值3．。