波动方程的求解方法
《高电压技术》第七章补充内容
20110517
一．求解算例：（暂态算例，与作业P93页7-3类似）
如图1所示，直流电源在t=0时刻合闸于无损单导线，已知电源电压E=1V,电源内阻为0，无损单导线单位长度的电感为L0、单位长度的对地电容为C0,线路长度为1m,且末端开路。

（注：设线路末端为x=0的起始点，x正方向从线路末端指向电源端）
图1 直流电源合闸于有限长线路
1）写出无损单导线的时域波动方程。

2）写出无损单导线的频域波动方程。

3）根据频域方程和边界条件求线路上任意一点的电压的频域表达式。

二、求解过程
1.均匀传输线的波动方程：
00
00
u i ir L x t i u ug C x
t
∂∂⎧-=+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=+⎪∂∂⎩
2.忽略损耗，上式的解耦形式为：
2200
222
2
00
22u u
L C x t i i L C x
t ⎧∂∂ =⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪ =⎪∂∂⎩
3.应用拉普拉斯变换到频域得：
2
2
2
22
2
d u u
d d i i d x
x
γγ = =，
γ，p 为拉普拉斯算子
4.写出电压方程和电流方程的通解形式：
u(x)=Aexp(-x)+Bexp(x)
γγ
A B i(x)=
exp(-x)+
exp(x)
z
z
γγ-
其中z
为线路波阻抗，且
5.代入边界条件 电源端:x=1,u=1/p;
线路末端：x=0,i=0,求出A 和B ，得到：
1cosh x u(x)=p cosh γγ
⋅
三、作业（稳态算例，选作,参见§11-1空载长线电容效应P297-298）
如图2所示，已知无损空载长线长为L ，末端开路，该线单位长度的电感为L 0、单位长度的对地电容为C 0, 电源电压为E ，且X L =0，求U X 的关于E 频域表达式。

图2 空载电路的沿线电压分布曲线
1()
cos cos x
U E U
x L
αα∙
∙
∙
=
（P298页式11-1-8）
提示：1.应用正弦稳态变换，即p =j ω变换到频域求解。

2.应用欧拉公式有：
cos sin cos sin j L j L
e L j L e
L j L
αααααα-=+=-
即cos sin ch L L sh L j L γγ=α=α
这里有0000
j j ;j j Z L Y C γωωω=
==α
==
2。