二项式定理（第1课时）一、内容和内容解析内容：二项式定理的发现与证明．内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．二、目标和目标解析目标：（1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理．（2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用．（3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养．目标解析：（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，解决运算问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：运用图形计算器的代数运算功能，可以让学生快速得到正确结果，让学生把主要精力用在观察、发现规律上．2．教学问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过比较多项式112233()()()a b a b a b +++展开式中项与项的异同点，得出()na b +的展开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容．3．教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题．学生很容易把发现二项式展开式的过程就当成二项式定理的证明过程．二项式定理的证明可以用数学归纳法，但难度较大．较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明．解决方案：通过对3()a b +的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般的展开式进行刻画．基于上述情况，本节课的教学难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用TI -图形计算器．既可以解决多项式乘法的复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视二项式定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知引出猜想[问题1]有人说70(1)x+的展开式中有47x项，你认为对吗？若有，它的系数是多少？[问题2]为了解决问题1，需要用到()na b+的展开，你认为这个展开式式会怎样呢？教师1：提出问题1．学生1：学生思考．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．教师3：观察1()a b+、2()a b+、3()+a b、4()+a b、5()+a b的展开式，你能得到哪些规律？学生3：利用图形计算器CAS的expand()函数，得出3()+a b、4()+a b、5()+a b的展开式．教师4：根据你所计算的结果，填对应表格．学生4：发现项数、项的次数、项的系数并猜想：101()n n n n k k nk na b a a b a b bλλλλ--+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+问题引入．提出问题．引导学生通过对特殊情形的观察，归纳猜想一般情形的基本特征．教师引导，学生根据所得具体的展开式，从展开式中的项数、项的次数、项的系数等角度进行归纳，并根据归纳所得猜想一般的展开式的结果．学生体会由特殊到一般的归纳猜想的过程．探寻规律获得结论[问题3]猜想一：101()n n nn k k nk na b a a ba b bλλλλ--+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+中的kλ=？教师5：提出问题3．学生5：引起思考，并提出想法．教师6：提出问题：在332230123()a b a a b ab bλλλλ+=+++中，为什么“01λ=，13λ=，23λ=，31λ=”？学生6：展开式计算，寻找答案．教师7：提出问题：3()a b+与112233()()()a b a b a b+++是什么关系？学生6：当123a a a a===,123b b b b===时，3112233()()()()a b a b a b a b+++=+．教师7：提出问题：探究112233()()()a b a b a b+++展开式的特点．学生7：利用图形计算器的CAS功能中expand()函数，得出112233()()()+++a b a b a b的展开式．教师8：引导学生分析112233()()()+++a b a b a b展开式的各项，并提出问题在展开式中为什么没有112a b a项，12a a等项？学生8：学生根据所得的计算结果，观察得到展开式的项的特点：展开式中的每一项是由每个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的．一般问题回到特殊情形进行研究．把问题回到已知的结构进行处理．学生通过计算器得到计算结果．教师通过引导学生对展开式各项构成的观察，得到项的构成．教师9：通过表格呈现特殊3()a b +与112233()()()a b a b a b +++的展开式的 并提出问题：332230123()a b a a b ab b λλλλ+=+++中，为什么13λ=？ 学生9： 3()a b +展开式中的项23a b 是由112233()()()+++a b a b a b 展开式中的项a a b 123，a b a 123，b a a 123去掉足码得到 aab ，aba ，baa 后合并同类项得到．从三个括号中的一个括号选择“b ”剩余两个括号选择“a ”构成的，因为从三个括号中的一个括号选择“b ”，一旦确定哪个括号选“b ”，剩余两个括号选择也就确定了，因为“b ”有三种选择，所以对应同类项的个数就为3，即“2a b ”的系数为3．教师10：能否用计数模型进行解释？学生10：“2a b ”可以看成是从三个括号中选择一个括号选“b ” ，剩余两个括号选择“a ”，完成这件事的所有可能，要做这件是，我们可分成两步来完成：第一、从三个括号中选择一个括号选“b ”，有13C 种选择；第二、剩余两个括号选择“a ”就221C =种选法，故有11331C C ⨯=种选法，所以，113C λ=．依此可以得到其它系数的组合数形式：3031222333333()a b C a C a b C ab C b +=+++．通过特殊与一般的项的关系对比，得到对系数意义的理解．根据展开式系数即同类项的个数这一结论，引导同学们通过一般到特殊，用组合计数模型对各项系数进行研究．课堂小结升华认知[课后练习]1．写出6(1)x-的展开式．2．写出331()2nxx-的展开式的第1r+项．[课后思考]1．3()a b c++的展开式为．2．请同学们观察下表（我国宋朝时期数学家杨辉所做的一个表），你有什么发现？展开式项的规律，最后进行理论证明；课堂展示了获取一个一般性结论的过程：首先要通过特殊到一般进行猜想结论，体现了数学抽象过程；其次，得到猜想后，要进行理论论证，体现了数学逻辑推理；最后，得到结论后，要以此为模型进行应用，体现了数学模型的应用．学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．课后练习是对定理巩固，思考练习是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．知识落实为明线核心素养为暗线——课例《二项式定理》点评《二项式定理》是高中数学教学的一个难点.此定理规律的发现与证明很好的体现了获取一个一般性的结论的基本过程. 我们知道，学生在学习某一项知识之前，头脑里并非一片空白。

他们通过学习、生活的各种经历，已经形成了一些科学的或非科学的概念、经验和一套他们独有的思维方式。

黄文辉老师善于从已知（“最近发展区”）出发，“采用问题引导”，置疑、思疑和解疑，循循善诱、化难为易；他既以学生为主体，将课堂还给学生，又注意“发挥教师引导作用”。

作用→反馈→再作用→再反馈，在这种反复的信息交互中，学生由表及里、思维不断优化，教学目标逐步实现；他“注重知识的发生过程”，与学生共同经历从个别现象，探索、挖掘、发现普遍规律的心路历程，感受数学之美，潜移默化的发展了学生的科学创新能力；他突出重点，强化数学核心素养训练，通过“建构计数原理模型”，演绎证明猜想，形成定理，提升了学生严谨的科学态度和逻辑思辨能力.具体来说，有以下几个特点：1、现代技术为更好的实现教学目标服务.本节课的主题是探究规律、发现结论、证明定理，计算不是本节课的任务，但要完成对规律的探究，又必须借助于一些特殊多项式的展开式，故图形计算器在课堂上的使用，能使学生从繁杂的计算中解放出来，更注重于教学的核心任务.2、整个设计充分体现了由特殊到一般的抽象过程。

在课堂教学中核心素养的培养不是仅仅停留在口头上，本节课的设计很好的诠释了这一点，教师通过问题引导学生不断的通过多个特殊形式的展开式的特点引导学生观察、归纳出一般性的规律，让学生充分感受了数学抽象的过程。

3、问题的生成是自然的。

整节课的问题，教师没有生硬的塞给学生，而是在学生思考过程中，因学生的思维需求，自然而然的提出问题，是建立在学生主动需求的基础上。