计算题题型一:计算普通债券的久期与凸性久期的概念公式:t Nt W t D ∑=⨯=1其中,W t 就是现金流时间的权重,就是第t 期现金流的现值占债券价格的比重。

且以上求出的久期就是以期数为单位的,还要把它除以每年付息的次数,转化成以年为单位的久期。

久期的简化公式:yy c y c T y y y D T +-+-++-+=]1)1[()()1(1 其中,c 表示每期票面利率,y 表示每期到期收益率,T 表示距到期日的期数。

凸性的计算公式:t N t W t t y C ⨯++=∑=122)()1(1其中,y 表示每期到期收益率;W t 就是现金流时间的权重,就是第t 期现金流的现值占债券价格的比重。

且求出的凸性就是以期数为单位的,需除以每年付息次数的平方,转换成以年为单位的凸性。

例一:面值为100元、票面利率为8%的3年期债券,半年付息一次,下一次付息在半年后,如果到期收益率(折现率)为10%,计算它的久期与凸性。

每期现金流:42%8100=⨯=C 实际折现率:%52%10=息票债券久期、凸性的计算即,D=5、4351/2=2、7176利用简化公式:4349.5%5]1%)51[(%4%)5%4(6%)51(%5%516=+-+⨯-⨯++-+=D (半年) 即,2、7175(年)36、7694/(1、05)2=33、3509 ;以年为单位的凸性:C=33、3509/(2)2=8、3377利用凸性与久期的概念,计算当收益率变动1个基点(0、01%)时,该债券价格的波动①利用修正久期的意义:y D P P ∆⨯-=∆*/5881.2%517175.2*=+=D (年)当收益率上升一个基点,从10%提高到10、01%时,%0259.0%01.05881.2/-=⨯-≈∆P P ;当收益率下降一个基点,从10%下降到9、99%时,%0259.0%)01.0(5881.2/=-⨯-≈∆P P 。

②凸性与价格波动的关系:()2*21/y C y D P P ∆••+∆•-=∆当收益率上升一个基点,从10%提高到10、01%时,%0259.0%)01.0(3377.821%01.05881.2/2-=⨯⨯+⨯-≈∆P P ;当收益率下降一个基点,从10%下降到9、99%时,%0676.0%)01.0(3377.821%)01.0(5881.2/2=⨯⨯+-⨯-≈∆P P又因为,债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感,所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。

题型二:计算提前卖出的债券的总收益率首先,利息+利息的利息=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⨯111)1(r r C n ;r 1为每期再投资利率; 然后,有 债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价格;其中,投资期末的债券价格:[]N N N N t t r F r r C r F r C P )1()1(1)1()1(222212+++-=+++=-=∑; N 为投资期末距到期日的期数;r 2为预期的投资期末的每期收益率。

例二:投资者用905、53元购买一种面值为1000元的8年期债券,票面利率就是12%,半年付息一次,下一次付息在半年后,再投资利率为8%。

如果债券持有到第6年(6年后卖出),且卖出后2年的到期收益率为10%,求该债券的总收益率。

解:602%121000=⨯=C %42%81==r %52%102==r 6年内的利息+6年内利息的利息=55.901%41%)41(6012=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⨯元 第6年末的债券价格=[]46.1035%)51(1000%5%)51(16044=+++-⨯-元 所以,6年后的期末价值=901、55+1035、46=1937、01元总收益=1937、01-905、53=1031、48元半年期总收益率=%54.6153.90501.193712=- 总收益率=(1+6、54%)2-1=13、51%题型三:或有免疫策略(求安全边际)例三:银行有100万存款,5年到期,最低回报率为8%;现有购买一个票面利率为8%,按年付息,3年到期的债券,且到期收益率为10%;求1年后的安全边际。

解:①银行可接受的终值最小值:100×(1+8%)5=146、93万元; ②如果目前收益率稳定在10%:触碰线:36.100%)101(93.1464=+万元 1年后债券的价值=100×8%+2%)101(108%1018+++=104、53万元; ③安全边际:104、53-100、36=4、17万元;B 触碰线所以,采取免疫策略为卖掉债券,将所得的104、53万元本息与重新投资于期限为4年、到期收益率为10%的债券。

债券年收益率=%88.81100%)101(53.10454=-+⨯题型四:求逆浮动利率债券的价格例四(付息日卖出):已知浮动利率债券与逆浮动利率债券的利率之与为12%,两种债券面值都为1万,3年到期。

1年后卖掉逆浮动利率债券,此时市场折现率(适当收益率)为8%,求逆浮动利率债券的价格。

解:①在确定逆浮动利率债券价格时,实际上就是将浮动与逆浮动利率这两种债券构成一个投资组合,分别投资1万元在这两种债券上,则相当于购买了票面利率为6%、面值为1万元的两张债券。

又因为在每个利息支付日,浮动利率债券价格都等于其面值,所以逆浮动利率债券价格易求。

②1年后,算票面利率为6%,面值为1万的债券价格347.9643%)81(10600%)81(6002=+++=P 元 ③P 逆=2P-P 浮=2×9643、347-10000=9286、694元题型五:关于美国公司债券的各种计算(债券面值1000美元、半年付息一次)(YTM 实为一种折现率)例五:现有一美国公司债券,息票利率为8%,30年到期,适当收益率为6%,求债券现在的价值？解:因为该债券面值为1000美元,每半年付息一次,所以:60601%)31(1000%)31(40+++=∑=n n P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯-%3%)31(14060+60%)31(1000+=1276、76元例六:现有一美国公司债券,息票利率为8%,30年到期,假设现在的售价为676、77美元,求债券到期收益率？解:因为该债券面值为1000美元,每半年付息一次,所以:60601)1(1000)1(4077.676YTM YTM n n +++=∑==6060)1(1000)1(140YTM YTM YTM ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯- 通过上式求出该债券的半年期到期收益率为6%,因此该债券的年到期收益率为6%×2=12%例七:美国债券市场上交易的一种零息债券,距到期日还有10年,到期价值为5000元,年适当贴现率就是8%,计算该债券的价值。

解:因为该债券半年付息一次,所以每期贴现率为8%/2=4% n=20 P=20%)41(5000+=2281、93元例八:一种美国公司债券,票面利率就是10%,2008年4月1日到期。

每年的4月1日与10月1日分别支付一次利息。

如果投资者在2003年7月10日购买,该债券的适当贴现率就是6%,则该债券的净价就是多少？全价就是多少？(采用360天计算)解:2003年7月10日距下一次利息支付日10月1日还有81天,且利息支付期为半年,即180天。

那么n=81/180=0、45。

79.1189%)31(1050%)31(50......%)31(50%)31(5045.945.845.145.0=++++++++=P 元即该债券的净价为1189、79元又因为距上一次付息日为180-81=99天,所以5.271809950=⨯=AI 元即该债券的全价为27、5+1189、79=1217、29元例九:在美国债券市场上有一种2年期的零息债券,目前的市场价格为857、34元,计算该债券的年到期收益率。

解:因为该债券为票面价格为1000元,半年付息一次,所以:4)1(100034.857YTM +=通过上式求出该债券的半年到期收益率为3、9%,因此该债券的年到期收益率为3、9%×2=7、8%例十:美国债券市场上有一种债券,票面利率为10%,每年的3月1日与9月1日分别付息一次,2005年3月1日到期,2003年9月12日的完整市场价格为1045元,求它的年到期收益率。

(按一年360天计算)解:2003年9月1日距下一次利息支付日2004年3月1日还有169天,半年支付一次。

即n=169/180=0、9389又因为全价=净价+应付利息06.318016918050=-⨯=AI 元 所以,净价=1045-3、06=1041、94元 即,9389.29389.19389.0)1(1050)1(50)1(5094.1041YTM YTM YTM +++++=该债券的半年到期收益率为YTM=3、58% 年到期收益率为3、58%×2=7、16%题型六:交税方法例十一:一种10年期基金,票面利率为6%、按年付息、持有到期。

政府对其收税,税率为20%。

现有两种交税方式:①一年一付;②到期时一起付;问选择哪种交税方式更好？(改变哪个数值会造成相反的结果)解:设在某年年初购买该基金;基金面值为100元; 市场适当收益率为r;①一年一付(年末付):每年年末应交:2.1%20%6100=⨯⨯元现值:[]r r r PV n n101011)1(12.1)1(2.1-=+-=+=∑②到期时一起付总利息为:10×1、2=12元 现值:102)1(12r PV +=若21PV PV =,则%1≈r所以:①当市场适当收益率为1%时,两种交税方式都可以; ②当市场适当收益率大于1%时,选择到期一起付; ③当市场适当收益率小于1%时,选择一年一付。

附:课上提过的重点题例十二:有一个债券组合,由三种半年付息的债券组成,下次付息均在半年后,每种债券的相关资料如下:求该债券组合的到期收益率。

(步骤:1、列表 ;2、列方程 ) 解:若考试时试题未给出债券的市场价格,必须计算出来。

A:12121%)5.31(1000%)5.31(3068.951+++=∑=n nB:10101%)75.21(20000%)75.21(55020000+++=∑=n n (平价出售) C:881%)41(10000%)41(37568.9831+++=∑=n n ②该债券组合的总市场价值为:951、68+20 000、00+9 831、68=30 783、36元③列表:r 为债券组合的到期收益率④列方程:121110987)1(1030)1(30)1(20580)1(580)1(10955)1(195536.30783r r r r r r r +++++++++++-⨯=-%13.3≈r所以该债券的半年期到期收益率为3、13%;其年到期收益率(内部回报率)为6、26%。