证明:
弹塑性理论1
土体稳定分析的基本提法和求解固体力学问题是 一致的, 即在一个确定的荷载条件下, 寻找一个应 力场σij 和位移场ui, 以及相应的应变场εij。
静力平衡：
弹塑性理论2
变形协调 虚功原理 本构关系
式(6)通常采用摩尔—库仑准则, 即
一般不容许出现拉应力的限制条件, 即
在边坡稳定分析领域, 式(19)～ (25)中的土压力P 为零, 因 而简化为
下限解 —— 垂直条分法7
在土压力领域, 式(19)和(20)中包含的F 为已知量, 其值为 1 。可以通过式(19)直接求解P , 再代入式(20)得到一个只 包括一个未知量λ的方程式:
下限解 —— 垂直条分法8
下限解 —— 垂直条分法4
x , y 方向的静力平衡方程, 可得： 其中
对条底中点建立力矩平衡方程, 可得
式中ht 为水平地震力作用点与条底的距离；y t 为G作用点的y 坐标值。
下限解 —— 垂直条分法5
根据边界条件，可获得边坡稳定垂直条分法的力 和力矩平衡方程式的积分形式，分别为
下限解 —— 垂直条分法6
高等土力学
主讲人: 张 升
e-mail: zhsh1230@
知识体系
土的弹塑性理论基础 塑性力学的上、下限定理 下限解 — 垂直条分法 —— 陈祖煜 上限解 — 斜条分法 —— 陈祖煜 流固耦合方法（PFEM） —— 盛岱超 剑桥模型的阐述—— 张锋
Soil mechanic is not an experiential technology Soil mechanic is a kind of science
自由指标(free index)
其中出现二次以上的指标 j 称为哑标
(dummy index) ，表示求和:
求和 式中某一项，若同一指标出现
规定
二次以上，规定对此指标进行 求和运算，并省略求和符号Σ
单位张量(Kronecker )
张量中一旦出现哑标，则哑标的符号 jj 可由其它任意哑标替换而不改变该张量 的性质。另外，一旦出现哑标，则张量 的阶数将下降二阶，称之为缩并。
斜条分法将滑动土体分成若干具有倾斜侧面的土条，假定 沿条块底面和侧面土体，均达到了极限平衡。
每一条块本身视为一个刚体，在某一外力增量的作用下， 每个条块将产生一个塑性变形增量 ，式(32)可简化为
分别用上标s 和j 表达底面和界面的内能耗散。
上限解 —— 斜条分法4
土条被划分为n 个土条, 包括n -1 个侧面。 由于速度V 与滑动界面的夹角必须为φe ，知道第一个条
由于引入假定的函数f 0(x)来自f(x)可以是多种多样的， 则安全系数F 的解答也就不可能是唯一的。
垂直条分法理论体系要求，所有的这些解答都要接受 以下的合理性条件的限制：
式中E′和 X 分别为作用于侧面的有效作用力和切向力，φav′ 和cav′为侧面上的平均有效抗剪强度指标，h为土条高度，N 为作用于条块底部的法向作用力。
在滑裂面固定时, 传统的极限平衡方法所获得的是一个静 力许可的解答，其解答应视为满足下限定理的框架, 相应 的是小于真实解的、留有余地的安全系数。
如果严格遵循加荷的途径来分析结构的安全度, 那么临界 破坏模式相应的目标函数应为最大, 而不是最小, 这和下限 定理是一致的。
尽管对这个问题在理论上还有不同的认识, 对于工程师来 说至关重要的是, 了解他们经常使用的“ Bishop” 、 “Morgenstern-Price”法等总在提供一个偏安全的解。
因此，极限分析上限解就是在许多可能的滑动机构中寻 找一个使虚拟荷载最小的临界滑动机构。
式中 是外荷载增量引起的塑性位移增量，这个位移率 通常称为塑性速度，W 是塑性区的体积力。
式(32)的左边两项分别是产生于破坏体塑性内和沿滑裂 面的内部耗散能。
上限解 —— 斜条分法3
如果材料遵守摩尔—库仑破坏准则和相关联的流动法则， 则可确认速度V 与滑面夹角为φe。因此单位面积内能耗散 可用下式表示:
块的速度V1 后，即可求得第二个条块的速度V2 和第一个 条块相对于第二个条块的速度Vj1 。 依此类推, 任意一条块的V 和Vj 可表达成第一个条块的速 度V1 的线性函数。 这样V 不再是未知数, 我们将通过式(34)求解一个F 值。
下限解 —— 垂直条分法1
垂直条分法假定边坡内存在一潜在的滑裂面。 在这一滑裂面上，处处达到了极限平衡状态。 将这一滑动土体分成具有垂直边界的条块，通过静力平衡
得到相互关系。
下限解 —— 垂直条分法2
存在着4个未知量，即作用于土条底面的法向力， 作用于土条侧面的总作用力、倾角及其作于侧面 上的位置
上限解 —— 斜条分法1
理论框架
对于一个处于极限状态的边坡，假定在土体里存在一个塑 性区，塑性区里各点均达到屈服，在这一塑性区和边界上 如果由于某一外荷载增量导致一个塑性应变。
上限解 —— 斜条分法2
通过虚功原理，求解相应这一塑性变形模式的外荷载：
上限定理指出，相应真实塑性区的外荷 一定比虚拟荷载 小或相等。
引言
边坡稳定、土压力、地基承载力 — 强度问题— 极限平衡分析
塑性理论的上、下限定理和条分法 Terzaghi，Perk，Sloan，黄文熙，陈祖煜，etc. 理论方法、数值模拟、试验方法 小变形理论 、连续介质力学— 重大缺陷
张量 tensor
将任意一个矢量u转变成另一个矢量v的线性变换T称为张量
塑性力学的上、下限定理1
仅关心土体失稳时的极限承载能力, 不需要了解此 时的具体变形，回避最难以准确确定的Cijkl 。
塑性力学的上、下限定理2
方案1 如果边坡表面作用有荷载 , 可以将这个荷载增加到 直至破坏：
方案2 极限状态是通过施加一个假想的水平体积力实现的；
方案3 定义安全系数，假定材料的抗剪强度指标降低至边 坡处于极限状态：
二个静力平衡方程和一个力矩平衡方程，缺少一 个方程
对土条侧面作用力的倾角作以下假定
在实际应用中, 经常两种假定, 第一种假定取 f0 (x)=0 , f(x)=1 , 即Spencer 法。第二种假 定取f(x)为一正弦曲线。引入假定函数后, 解 得安全系数F(或土压力P)和λ这两个未知量。
下限解 —— 垂直条分法3