1
1. 弹簧受力为1 ， 弹簧的伸长 K N
2.
简支梁中点
受力也为1
，中点挠度为
L3 48 EI
3. 质点的位移： 1 L3 5L3
KN 48EI 48EI
P=1
代入运动方程，得： y(t)

48EI 5mL3
y(t)

0
y(t) 2 y(t) 0

48 EI 5mL3
P=1
P=1
2L/9
MP图
11

267 1458
L3 EI
1P

24 L3 1458 EI
P=1
X 基本体系
X=1
M1 图
P=1
P=1
18L/89
M图
2L/9
M图
4L3
267 EI
运动方程：y(t) my(t)
代入运动方程，得：y(t)
267EI 4mL3
y(t)
单自由度 计算例题
重 点：刚度系数、柔度系数 频率
难 点：刚度系数、柔度系数
例题1
图示体系，不计梁重，弹簧的刚度KN 度为EI，求自振频率。
12EI
= L3
，梁的抗弯刚
KN
m
L/2
L/2
δ
解：质点的位移由惯性力产生
P=1
运动方程：y(t) my(t)
式中， δ 为单位力作用于质点时产生的位移
qL2/2
D B
MP图
D
M1
qL/4
P=1
BP

1 KN
1
qL 4

L3 EI
1
qL 4

qL4 4EI
D
L/2
qL4 DP 4EI
BD

L3 2EI
DD

5L3 12 EI
M2
P=1 B 1 B
1/2
3) 先解第二个方程,以 yD (t) Asint 代入方程，得：
1）求出动力矩为1及惯性力为1时在质点及A端处产生的位移
及转角
P=1
M=1
L/4
M1图
11

L3 48 EI
12
21

L2 16 EI
1
M2图
22

L 3EI
2) 由叠加原理可得振动方程
y(t) my(t)11 12M sint A (t) my(t) 21 22M sint
一般地
k m
1
m
引例
刚度法
my Ky 0
K

6EI L3

KN
K
m
柔度法 y(t) my(t)
m KN
L
L
K
1 KN
P=1
KN
例题2 6EI
图示结构，梁的刚度为EI，弹簧的刚度KN = L3 的自重，求自振频率
m
P=1
，不计梁
KN
L/3
2L/3
解：在质点处作用单位力 ，用力法求由此产生的位移
4
2）求转角 (t)时需在C处施加的力矩(转动刚度) K
*AB杆的杆端弯矩和杆端剪力
K
A
B
(t)
M BA
4i (t)
6i 3L
L (t)
4
8EI (t)
L
4
VBA

160EI 9L2
(t)
*DE 杆的杆端弯矩和杆端剪力
K
A
B
(t)
M DE

3i (t)
VBC
L
m L
K VBA
侧移为1需施加的力K
看成支座移动时内力计算
L
1 R
R 3EI / L2
R
r 7EI / L
3EI / 7L2
12EI / 7L2 9EI / 7L2
VBC
K
K 12EI / 7L3
VBA
侧移为1需施加的力K
Ky my
myt Kyt 0
KN
2
1
KN
1/L
P sin t
m
yt
P=1
L
1
KN
2
3L/4
L
P=1
KN
1/L
L
P=1
KN
KN
5/4
2
=39L3/24EI
yt myt P sint
4、 EI=常数
EA m
A
L
P=1
EA

求自由振动频率，EA=6EI/L2
L
L m
A EA
P=1
-1

L
=L/EA+L3/3EI
1
7 16
1


2
2


s

ML 3EI
图示结构，梁的刚度为EI，弹簧的刚度KN
=
6EI L3
，不计
梁的自重，θ= 89 EI 。求B点的最大动力位移反应
4mL3
m A
P sinθt
B
C
D
KN
L/3
L/3
L/3
1）求B点的柔度δ
P=1
P=1
2L/9
MP图
3）求解方程
y(t)
48EI mL3
y (t )

3M mL
s in t
设方程的解为：y(t) Asint
y(t) yS sint


1
1


2
ML2 ys 16 EI
把上式代入第2个方程中，得 A (t) s sint
*

例题7
1



2

267 178
ys

7 PL3 534 EI
例题8
求图示结构B点的最大竖向动位移ΔBV ，并绘最大动力弯矩图。
已知，EI=常数，不计阻尼
EI
mL3
EI K N L3
q sint
C
A L
D
m L
L B
KN
解：1）动力自由度1 ，D点的竖向位移 yD (t)
1
1 L
P

1 EI
1 2
LL
5 2L 6

5L3 6EI
2L
1
I

1 EI
1 2L 2L 2 2L
2
3
8L3 3EI
yt mytI PP sint
yt
3EI 8mL3
yt
5P sint
MP图
P=1
B
qL/4
M max M P M 2 Imax
D L/2
M2
B
qL2/2 1/2
13qL2/28
习题课
1、
L
P sin t
EI L
P sin
EI
1
m

EI 8mL3
建立振动方程，求最大动位移
建立方程的依据：
m
质点位移由惯性力与动荷载 yt
共同产生
1 L
P
2L
在B结点作用K, 使结点侧移为1 时的位移法方程
rr2111

r12 r22

R1P R2P

0 0
C
L
1
B
D
Km
L
A L
R1P
3I/L
R2P
MP图
rr2111

r12 r22

R1P R2P

0 0
令 1 解出K
i 3i
3i
rr1211
11

267 1458
L3 EI
24 L3 1P 1458 EI
P=1
X 基本体系
X=1
M1 图
求柔度δ
P=1
18L/89
M图
4L3
267 EI
P=1
2L/9
M图
2）求动力荷载为1时在质点出产生的位移
P=1
2L/9
2L/9
MP图
P=1 75L /801
171L /801
M图
* 7L3
6EI
1.5
2、
EI
L
P sin t
m L
P sin t
EI
m yt
建立方程的依据： 质点位移由惯性力与动荷载共同产生
L
P=1
L
P=1
L/2
=7L3/12EI
yt myt P sint
3、
P sin t
EI
m
KN=3EI/L3
KN
L
L
EI
KN
P=1 L
K= 1/+24EI/L3

K m
26 EI mL3
5、 EI=常数,EA=6EI/L2
EA m
L R1P P sin t
方法1
s
EA FI
P sin t
P sRin2 Pt
L
y
L
R1P my R2P P sint
K11 1
K12 K21
1 K22
位移法方程
KK1211yy
KN

6EI 13L3
EI mL3
P sin t

0