P{X
n}
C3n
(1)3n 3
(
2 3
)n
，可知分布列如下：
X
0
1
2
3
1
2
4
8
P
27
9
9
27
E(X ) np 3 2 2 3
.……………………6 分
（2）事件 A 包含的事件有{乙答对 0 个甲答对 2 个，乙答对 1 个甲答对 3 个}
P{ 乙答对 0 个甲答对 2 个} 1 4 1 ， 8 9 18
1 m2
2
AB
(m2 1)[( y1 y2 )2 4 y1y2 ] 2
2(m2 1) m2 2
………………8 分
原点 O 到直线 AB 的距离 d
1 m2
1
，则点 C
到直线
AB
的距离为
2d
2
，
m2 1
SABC
1 2
AB
2d
2
2 m2
m2 1 2
4 3
，解得
m2
1或
m2
1 2
（舍）
即直线 AB 的方程为 x y 1 0 .
P{ 乙答对 1 个甲答对 3 个} 3 8 1 ， 8 27 9
………………11 分
∴ P(A) 1 1 1 18 9 6
.……………………12 分
18、解（1）由正弦定理可得 sin A a sin C 2 3 1 ， c 34 2
………………3 分
∵
a
c
，∴
A
C
，所以
0
A
π 2
1
4
2k 2 2k 2
2
1
2
2
k2 1 2k 2 1
，
点 O 到直线 kx y k 0 的距离 d
|k|
，
k2 1
因为 O 是线段 AC 的中点，所以点 C 到直线 AB 的距离为 2d
2|k |
，
k2 1
∴ SABC
1 2
AB
2d
1 2
2
2
k2 1 2k 2 1
2k 2 k2 1
由两曲线的公共弦长为
2 ，可得 y0
2 2
，代入抛物线 C2
:
y2
x 2
可得
x0
1，
答案第 2页，总 7页
将点 (1,ຫໍສະໝຸດ 2 ) 代入椭圆方程得 2
1 a2
1 2b2
1
①，
离心率为
2 得 c2 2 a2
1
b a
2 2
1 2
②，
联立①，②可得 a2 2,b2 1， 即椭圆方程为: x2 y2 1 2
P(2, 0, 0), A(2, 0, 0), B(0, 2 3, 0), D(0, 0, 2 3)
MC MD DC MD AB (2, 2 3, 2 3) ，可得 C(2, 2 3, 2 3)
PB (2, 2 3, 0), PC (0, 2 3, 2 3) ，设平面 PBC 的法向量为 n (x, y, z) ，
………………12 分
【法二】（2）①当直线 AB 的斜率不存在时，不妨取 A1,
2 2
,
B
1,
2 2
,
C
1,
2 2 ，
此时 S ABC
1 2
22
2；
………………6 分
②当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y k x 1 ， A x1, y1 , B x2, y2 ，
………………5 分
【法一】（2） F2 (1, 0) ，且点 A 不是长轴端点，
因此可设直线 AB 的方程为： x my 1 ， A(x1, y1), B(x2 , y2 )
x my 1,
联立方程
x2 2
y2
1,
化简得 (m2
2) y2
2my
1
0，
0 恒成立，
y1
y2
2m m2 2
,
y1 y2
2
k2 k2 1 4 2k 2 1 2 3
解得 k 2 1或 k 2 2 （舍）
综上，直线 AB 的方程为 y x 1或 y x 1.
………………12 分
【注】：计算点 C 到直线 AB 的距离可直接用距离公式，由 A 和 C 关于原点对称可得 C x1, y1 ，
点 A 在直线 my x 1 0 上，即 my1 x1 1 0 ，可得 m( y1) (x1) 1
∴点 C 到直线 AB 的距离为 d '
2
，其余过程参考方法一或方法均可。
y k x 1,
联立方程
x2 2
y2
1,
化简得
2k 2 1
x2 4k 2x 2k 2 2 0 ，
则
Δ
0
恒成立，则
x1
x2
4k 2k 2
2
1
,
x1
x2
2k 2 2k 2
2 1
，
答案第 3页，总 7页
AB
1 k2
x1
x2
2
4x1
x2
1 k2
4k 2 2
2k
2
……………………………………5 分
（2） PAB 和 PAD 是边长为 4 的等边三角形，得 BM DM 16 4 2 3 ，
又 BD 4 ， DM 2 BM 2 DB2 ，得 DM BM ．
由 1 知， PA 平面 BDM， DM AP, DM 平面 APB
…………7 分
如图、以点 M 为坐标原点建立直角坐标系 M xyz ，可得
玉溪一中 2020—2021 学年上学期高三年级期中考
理科数学答案
一、选择题：B B C B D A C D BC D C
二、填空题： 13、 3 2
14、 ( 1 , 1 ) 22
15、
ççp6
p ，
4
úú
16、
(,
3)
(1,
)
三、解答题：
17．
解：（1） X
符合二项分布
X
~
B
3,
2 3
，即有
，∴
A
π 6
．
……………………6 分
（2）由已知 S△ABC
1 2
ac sin
B
3sin
B
2
2 ，∴ sin B 2 2 ． 3
……………………8 分
①若
B
为锐角，则
cos
B
1 3
，∴ b2
a2
c2
2ac
cos
B
9 ，∴ b
3 ，周长为
8；………10
分
②若
B
为钝角，则
cos
B
1 3
，∴ b2
a2
c2
由
PB
n
0
，可得
2x
2
3y 0
，令 y 1，得 n (
3,1, 1)
PC n 0
2 3y 2 3z 0
BD (0, 2 3, 2 3) ，设线 BD 和平面 PBC 所成角为 ，
…………10 分
则 sin cos BD, n
10
5
…………12 分
20．（1）解：由椭圆和抛物线的对称性可设 C1 、 C2 交点的坐标为 (x0 , y0 ) 和 (x0 , y0 ) ，
2ac cos
B
17
，
答案第 1页，总 7页
∴ b 17 ，周长为
b 5 17 .
……12 分
19． 1 证明：取 AP 中点 M，连接 DM，BM，
DA DP ， BA BP ， PA DM ， PA BM ， DM BM M ， PA 平面 DMB． 又 BD 平面 DMB， PA BD