2 ye y , y 0 f Y ( y) 0, y 0. 1 2 , 当x 0时，z x 单调，其反函数为 z , x z x 2 z 1 z e , z0 f Z(z) 2 z 0, z 0.
2
c 40. PX n , n 1,2,3,4,5, 确定C 的值并计算EX . n
PX 3
PX 4
3 2 9 9 12 11 10 220
3 2 1 9 1 12 11 10 9 220
44
PY 2
PY 3
44 PX 3 9 220 1 P X 4 220


6、上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取得新球数目 X的概率分布。
解
c c c c c 137c c 1 2 3 4 5 i 1 n 60
5
60 因此c 137 c 300 EX n 5c n i 1 137
5
41.随机变量X 只取 1， 1三个值，且相应概率的 0， 比为 1： 3，计算EX . 2：
解
n 9
3 n 3 3 12
（n=0，1，2，3）
7、已知PX n p n，n=1，2，3，……，求p的值
解：根据 pX n 1
n 1
p(1 p n ) lim p i lim 1 ，有 n i 1 n 1 p
n
p 1 有 1 p




34.随机变量 服从0, 上的均匀分布 cos X , 求Y 的 X Y 2 概率密度 fY ( y ).
解
y cos x 在 0, 上单调，在（ 1 0， ）上， 2 1 h( y ) x arccos y 有 h( y ) 1 y2 2 有 f X [h( y )]
P X k 0.6 k 0.4, ( k 0,1,2,3) 公式 法： 4 P X 4 0.6
2 x, a x a 2 17. f ( x) 其它 0, 问f ( x )是否为 密度函数，若是 定a值；若不是 说明理由 确 .
解：X可取0， 2， 4，X 0表示第一个路口就遇红 1， 3， 、黄灯， X 4表示一路绿灯 .
PX 0 0.4， PX 1 0.6 0.4 0.24, PX 2 0.6 0.6 0.4 0.144, PX 3 0.6 0.6 0.6 0.4 0.0864, PX 4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.1296,

因此 2 , 0 y1 f Y ( y) 1 y 2 其他. 0,
36.随机变量 X ~ f ( x ), e x , f ( x) 0, Y x0 x 0.
X , Z X 2 , 分别计算随机变量 与Z的概率密度 Y . 解 当x 0时，y x 单调，其反函数为 y 2 , x 2 y , x y




PX 2
1 2 1 ( ) 16 4
4、第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止， 求抽取次数X的概率分布
解：X可以取1，2，……可列个值。
1 3 n 1 PX n ( ) 4 4
n=1，2……
5、盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不 放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的 概率分布。 （1）抽取次数X； （2）取到的旧球个数Y。 解（1）X可以取1，2，3，4各值。 （2）Y可以取0,1，2，3各值。 3 3 PX 1 PX 1 PY 0 4 4 3 9 X 2 12 11 9 P PY 1 PX 2 9

x

2

arctan e x
29.随 机 变 量 X ~ f ( x ), 2x 2 , 0 xa f ( x) 0, 其 他. 试 定 a的 值 并 求 分 布 函 数 ( x ). F
解 由 1 0
a
2x
当 0 x

x
dx 2
x
2 a 2 0
解
X 2仍服从0 1分布，且 X 2 0 PX 0 0.3 P P X 2 1 PX 1 0.7
X 22 X 的取值为 1与0，




P X 2 2 X 0 PX 0 0.3 P X 2 2 X 1 1 PX 0 0.7
100 n 1
解： cn c(1 2 ... 100) 5050c 1
1 c 5050
14.一条公共汽车线路的两 站之间，有四个路口设 有信号灯，假定汽车经 过每个路口时，遇到绿 灯可通过，概率为.6，遇到红、黄灯则停， 0 概率 为0.4，求汽车开出后，在第 一次停车之前已通过的 路口数X的概率分布 .
解： X可以取0，1，2三个值，有古典概型公式可知
m 2 C 5 C15 m PX m ( m 0,1,2)
2 C 20
3、上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品 中，优质品为X件，求随机变量X的概率分布。 解：X的取值仍是0，1，2 3 2 9 3 1 1 ( ) P X 0 P X 1 C 2 ( )( ) 6 16 4 4 4 16
时

a2

2
因此 a
F ( x ) 0

2t

2
dt
x2
2
0, x 0, 2 x F ( x) 2 , 0 x , 1, x .
31.随机变量 服从参数为0.7 的0 1分布，求 2, X 22 X X X 的概率分布 .
1
dx c
1
1
1 1 x2
dx
1
c arcsin x 1 c ,
1 2
c
1 2
1

1 1 2 1 P X dx arcsin x 2 1 1 x 2 3 0
2
23.设连续型随机变量 的分布函数 ( x )为 X F 0, x 0 F ( x) A x , 0 x 1 1, 1 x 确定系数 A；求 P{0 X 0.25}；求概率密度 ( x ). f
8、已知 P
X n p
1 p 2
n
，n=2，4，6，……，求p得值。
2 p2 （舍去） 2
p2 2 解：p 2 p 4 p 6 ...... 1 p1 1 p2 2
9、已知 PX n cn, n 1,2,...,100，求c的值。
解：串联电路正常工作 的充要条件是， 3个元件都正常工作， 3个元件的寿命是相互独 立，同分布的随机变量 ， 故串联电路正常工作， 3个元件都正常工作的概 即 率为：
[ PX 150]3
100 100 2 而PX 150 2 dx x 150 3 150 x

解： F () 0 1, 不能是分布函数 .
确 定a值 ； 求 分布 函数 ( x ); 计 算P x 1. F
a 26. 随 机变 量 ~ f ( x ) X , 2 (1 x )

a a 解 ： f ( x )dx 1 dx arctan x a 2 (1 x )
1、已知随机变量X服从0-1分布，并且PX 0 0.2 求X的概率分布。 解：X只取0与1两个值,
PX 0 PX 0 PX 0 0.2
PX 1 1 PX 0 0.8
2、一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件， 共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布。
解：若 ( x )是密度函数，则 ( x ) 0, 即a 0, 此时 f f
a2 a
f ( x )dx 2 xdx x
a
a2
2 a2 a
4a 4 1
与 f ( x )dx 1矛盾，故f ( x )不是密度函数 .


19. 某 种电 子 元件 寿 命 是 随机 变 量， 概 率密 度 X 为 100 , x 100 f ( x) x 2 0, x 100 3个 这种 元 件串 联 在一 个 路 线 中 ， 计 算这 个 元件 使 用了 小 3 150 时 后仍 能 使线 路 正常 工 的概 率 作 .
解： 连续型随机变量 的分布函数是连续函数 X ， F (1) F (1 0), 故A 1
P{0 X 0.25} F (0.25) F (0) 0.5
1 ,0 x 1 ( x ) 2 x f ( x) F 0, 其它
25.函数(1 x 2 ) 1 可否为连续型随机变量 的分布函数，为什么？
1 arctan x 2 0
2
1
27.设 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 ( x )为 F A 1 2 , x 2 F ( x) x 0, x 2. 试 确 定 常 数 A, 并 求 P {0 X 4}.
解 由 F (2 0) F (2)
得 A4
A 有 1 0, 4
P{0 X 4} P{0 X 4} F (4) F (0) 0.75.
A 28.设随机变量X ~ f ( x ), f ( x ) x , 确定A的值； x e e 求分布函数 ( x ). F
A ex 解 由 1 x dx A dx x 2x 1 e e e x Aarctan e A 2 2 因此 A 2 2 x F ( x ) dt arctan e t t t (e e )