八年级上册第二章 特殊三角形一、将军饮马例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、3B 、10C 、9D 、9【变式训练】1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ）A 、2B 、2C 、4D 、2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长；EBCADP第2题BOAPC第1题BOACN第3题E（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小并求出它的最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值二、等腰三角形中的分类讨论例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为（2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的腰长为（3）已知等腰三角形的周长为28cm和8cm，则它的底边为【变式训练】1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数5、已知等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为6、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的度数为7、如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位BA1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置三、两圆一线定等腰例3在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个【变式训练】1、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．82、在平面直角坐标系中，若点A（2，0），点B（0，1），在坐标轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，这样的点C可以找到个．3、在坐标平面内有一点A（2，），O为原点，在x轴上找一点B，使O，A，B为顶点的三角形为等腰三角形，写出B点坐标4、平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，-3），试在y轴上找一点P，使△APB为等腰三角形，求点P的坐标5、如图1，已知一次函数分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC交x轴负半轴与点C，且OC=OB．xy O（1）求直线BC的函数表达式；（2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠AFC=∠ABC；（3）在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由四、折叠问题例4：如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使得点D落在线段BC的点F处，则线段DE的长为ED AB【变式训练】1、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使得点B 落在对角线AC 的点F 处，则线段BE 的长为2、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿EF 将矩形折叠，使A 、C 重合，若，则折痕EF 的长为3、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿AC 将矩形折叠，使得点B 落在点E 处，则线段EF 的长为4、如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A 在坐标原点，AB 在x 轴正方向上，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，M 在DC 上，将△ADM 沿折痕AM 折叠，使点D 折叠后恰好落在EF 上的P 点处． （1）求点M 、P 的坐标；（2）求折痕AM 所在直线的解析式；EFDA B第1题FGD AB第2题FED CAB第3题（3）设点H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三角形为等腰三角形若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．例5 如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线．（1）如果BD=CE，那么△ABC是等腰三角形，请说明理由；（2）如果∠A=60°，取BC中点F，连结点D、E、F得到△DEF，请判断该三角形的形状，并说明理由；（3）如果点G是ED的中点，求证：FG⊥DE【变式训练】1、如图，点M是Rt△ABC斜边BC的中点，点P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．（1）如图1，若P、Q分别是AB、AC的中点，求证：PQ2=PB2+QC2；（2）如图2，若P、Q分别是线段AB、AC的动点（不与端点重合）（1）中的结论还成立吗若成立请给与证明，若不成立请说明理由2、问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）填空：∠AEB的度数为；拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，点M为AB的中点，连接BE、CM、EM，求证：CM=EM．全等之三垂直（K型图）例1 如图，已知AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥BE，AB=BE求证：AC=BF,BC=EF1、如图，已知，AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥CE，AC=CF求证：AB=CE2、已知，AC⊥CF，EF⊥CF，AG⊥CE，AG=CE求证：AG=CFGE AGE A3、如图： 已知，AE ⊥BD ，CD ⊥BD ，∠ABC=90°，AB=AC ，求证：AE=BD ，BE=CD4、如图，点A 是直线 在第一象限内的一点；连接OA ，以OA 为斜边向上作等腰直角三角形OAB ，若点A 的横坐标为4，则点B的坐标为5、已知：如图，点B,C,E 在同一条直线上，∠B=∠E=60°，∠ACF=60°，且AB=CE 证明：△ACB ≌△CFEEABDC60°60°60°FAE全等之手拉手模型例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC（2）AE=DC（3）AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC3、如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）△ADG≌△CDE是否成立（2）AG是否与CE相等（3）AG与CE之间的夹角为多少度（4）HD是否平分∠AHE4、如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H. 问（1）△ADG≌△CDE是否成立（2）AG是否与CE相等（3）AG与CE之间的夹角为多少度（4）HD是否平分∠AHE5、两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a连接AE与CD.问（1）△ABE≌△DBC是否成立（2）AE是否与CD相等（3）AE与CD之间的夹角为多少度（4）HB是否平分∠AHC钢架中的等腰三角形例 1 如图钢架中，∠A=10°，焊上等长的钢条来加固钢架．若AB=BC=CD=DE…一直作下去，那么图中这样的钢条至多需要根1、如图钢架中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…至多需要8根加固钢架，若P1A=P1P2，则∠A= ．2、如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A=P1P2，量得∠BP5P4=100°，则∠A=（）度．A．10 B．20 C．15 D．253、如图钢架BAC中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5来加固钢架，若P1A=P1P2，则∠A的取值范围．4、如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是。