清华大学数学实验报告4————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ电13 苗键强2011010645一、实验目的1.掌握用 MATLAB 软件求解非线性方程和方程组的基本用法, 并对结果作初步分析；2.练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解。
二、实验内容题目1【问题描述】(Q1）小张夫妇以按揭方式贷款买了1套价值２0万元的房子，首付了5万元，每月还款1000元，15年还清。
问贷款利率是多少？(Q2)某人欲贷款50 万元购房,他咨询了两家银行,第一家银行开出的条件是每月还45０0元,15 年还清；第二家银行开出的条件是每年还４5０00 元,2０年还清。
从利率方面看,哪家银行较优惠(简单假设:年利率=月利率×12）?【分析与解】假设初始贷款金额为x０,贷款利率为ｐ,每月还款金额为x,第i 个月还完当月贷款后所欠银行的金额为x i,(i=1,2，3,.．....，n）。
由题意可知：x1=x0(1+p)−xx2=x0(1+p)2−x(1+p)−xx3=x0(1+p)3−x(1+p)2−x(1+p)−x……x n=x0(1+p)n−x(1+p)n−1−⋯−x(1+p)−x=x0(1+p)n−x (1+p)n−1p=0因而有：x0(1+p)n=x (1+p)n−1p (1)则可以根据上述方程描述的函数关系求解相应的变量。
（Ｑ1)根据公式(１)，可以得到以下方程：150p(1+p)180−(1+p)180+1=0设 f(p)=150p(1+p)180−(1+p)180+1，通过计算机程序绘制ｆ（p）的图像以判断解ｐ的大致区间,在Ｍatlab中编程如下：ｆorｉ = 1:25t = ０．0001＊i;p(i) = t；f(i) =１50*ｔ＊(１+t).^180-(１+t).^180+1;ｅｎd;ｐｌｏｔ(ｐ,ｆ),hｏld ｏn,grid on;运行以上代码得到如下图像：f(ｐ)~p关系曲线图通过观察上图可知p∈[0.002,0.0022]。
Sｏlｕtion1：对于p∈[0.002,0.0022]，采用二分法求解,在Matla ｂ中编程如下：clear;ｃlc；x０=150０00；n =1８0;x ＝ 1000;p0 ＝ 0.０02;p1=0．0022;whiｌe (ａbs(ｐ1－p0)＞1e-8)f0 ＝ x0*（1+p0).^n+x*(1-(1+p０）．^n）/p0;ｆ1= x０*(1+ｐ1)．^n＋x＊(1-（１+p1)．^ｎ）/p1;ｐ2＝（p０+p1）／２；f2 ＝ x0*(１+p２）．^n+x*(1－（1＋p2)．^n)/p2；if (f０*f２＞０ && ｆ1*f２<0)p0= ｐ2;ｅlsep1 = p2；end;enｄ;p0结果得到p０=0.0７8125=0．２081%．所以贷款利率是0.208１％。
Solutiｏn２:对于p∈[0.002,0.0022],采用牛顿法求解，为观测p｛k}是否收敛,在Ｍａtlab中编程如下:clｅarｃlcｎ = 5;foｒi= １:nｐ（i) ＝ 0.0０0１*(ｉ+18)；t =p(ｉ);f(i) = t-(15０＊t*（1+t）.^180-(１＋ｔ).^１8０+1)／(27000*t＊(１+t).^179+150*(1+t)．^18０-180*（1+t).＾179);g(i) = ｔ;end；plot(p,ｆ,ｐ,ｇ),hold ｏn,grｉd on；运行以上代码得到如下图像：收由图像可知蓝色曲线在两线交点处斜率绝对值小于1，故p{ｋ}敛。
取初始值p=0.0019，采用牛顿法求解,在Matlab中编程如下: p= ０．0019;fｏr i=1:10０a = p-（１50＊ｐ*（1+p).^１８０-（1＋ｐ).^18０＋1)/(27000＊p＊(1＋p).^179+15０＊(１+ｐ).^１80-1８0＊(１+p)．^1７9);ｐ=ａ;endp结果得到p０=0.9４591５＝0.2081%.所以贷款利率是0．２081%。
Ｓｏlｕtｉon3：采用fzeｒo求解,在Matｌab中编程如下：p= ｆzerｏ(inliｎe('１50*x*(1+x).^1８0+１-(1+x).＾1８0')，[0.0０200,0.０0225]）；结果得到p0=０.94５920＝0.2081%.所以贷款利率是0.208１％。
【结论】贷款利率是０．２081％。
(Ｑ2）根据公式(1)，对于第一家银行提供的条件可以得到关于月利率p1的方程:1000p1(1+p1)180−9(1+p1)180+9=0对于第二家银行提供的条件可以得到关于年利率ｐ２的方程:100p2(1+p2)20−9(1+p2)20+9=0设 f(p1)=1000p1(1+p1)180−9(1+p1)180+9，f(p2)=100p2(1+p2)20−9(1+p2)20+9。
通过计算机程序绘制f(p1）和f(p2）的图像以判断解ｐ1和p2的大致区间,在Matlaｂ中编程如下:cleａrclｃfor i ＝1：1０0p(i) = 0.0００1*i;t = p(i);f1(ｉ) =1０00＊t*(1+ｔ)．^1８0-9*（1+t）.＾１80+９;end;plot(ｐ，f1),hold on,grid oｎ；fｏr i = 1：１０00p（ｉ) = 0.00０1*i;ｔ= p(i);ｆ2(ｉ) ＝ 100＊ｔ*(1＋t).^20-９*(1＋t).＾20+9；end；pｌｏｔ(p，f2),hoｌd oｎ,gｒid on;运行以上代码得到如下图像:f(p１)~ｐ1关系曲线图f（p２)~p2关系曲线图通过观察以上图像可知p1∈[0.0055,0.0060], p2∈[0.060,0.065] Soｌution1:采用二分法求解相应的利率值,在Maｔlaｂ中编程如下:cｌearclcp10 ＝０.0055；p１1 = 0.00６０;while(ａbｓ(p10-ｐ11)>1e－8)ｆ0 = 1０00*p10*(1+p10).^180－９＊（1+ｐ10)．＾180+9;ｆ１ = 1000＊p1１*(1+p11)．＾180－９＊(1+p11）.^180+9;p22＝(p10+p11)/２；f2 =1000*p22＊(1+p2２）．^1８0-9*(１+p22).^1８０+9;iｆ (f0*f2>０ && f1＊f2<０）p1０ = p2２；elｓeｐ11 = p2２;end;eｎd;p10cleａrclcp2０＝０.0６0；p21= 0.065;ｗhile (aｂs(ｐ２０-ｐ２1)>1e－8)ｆ０= 100*p20*(1+p20).^20-9*(１+p20).^20＋9;f1 = 100＊p21*(1+p21).＾20-9*（1+p2１)．^20+9;p22 ＝ (ｐ20+ｐ２１)/2；ｆ2=１00*p22＊(１+p22).^２0-9*(1＋p22）.^2０+９;if (ｆ0＊ｆ２＞0 && f1＊ｆ2<0)ｐ20 = p２２;elｓｅｐ２1 = p2２;end;end；p２0结果得到p１=0．115２34=0．５8５1%，相应的年利率为p1n=１2＊p1=7.021%;p２=0.７７６85＝6．3９5%。
所以第一家银行的贷款年利率是7．02１%,第二家银行的贷款年利率是6．３95%。
Solｕtion2：采用牛顿法求解相应的利率值，为观察p1{ｋ}和ｐ2{k}是否收敛,在Matlab中编程如下:cleaｒcｌcｎ=６;foｒi=1:ｎp(i）=0．０001＊(i+55);t=p（ｉ)；ｆ１(i)＝t-(10０0*t*（１+t).^１８0-9*(１+ｔ).^1８0＋9)/(１８00０0*ｔ＊（1+t).^179+1000*（1＋t)．^１8０－１620*（1+t).＾1７９)；g（i)=ｔ;eｎd;plot(p,f1,p，g),ｈold on,gｒid on;cｌeａｒclcn = 10；forｉ＝ 1:np(ｉ) = 0．０01*（i+60）;t＝ p(i);f2(ｉ）＝ t-(10０*ｔ*（１+ｔ).^2０-９* (１+t).^２０+9)/（2000*t*(1+t).^19+100*（１+t).^２0-1８0＊(1+ｔ）.^19);ｇ(i)=ｔ;eｎd；plot(p，f2,p,g),holｄｏｎ,grid ｏn;运行以上代码得到如下图像:由图像可知两条蓝色曲线在两线交点处斜率绝对值均小于1,故p1{k｝和p2{k}均收敛。
,取初始值p=0.0056,对于p2{ｋ｝,取初始值p=0.061，对于p1{ｋ}采用牛顿法求解，在Matlａb中编程如下：clearclcp =0．00５6;for i = 1:１00t ＝ｐ;ｐp = t-（100０*t*（１+ｔ).^180－９＊(1＋ｔ).＾１80+9)／(１８0000*t *（１＋t).^1７9 +1００0*(1+t).^１80-１620＊(1＋ｔ).＾179)；p= pp;eｎdpcｌeaｒclcp= 0.0６１;foｒ i = 1:1００t = p;pp= ｔ-(100*t*（1+t).^20－９＊(１+t).^20+9)/(２000*t*(1+ｔ).^１9+１00＊(1+t).^２０-180＊(1+t).^19);ｐ＝ pｐ;ｅndp结果得到p1＝０.2845３9=0．5851%，相应的年利率为p1ｎ＝1２*p1＝7.021%；p2=０.23863=６.395%。
所以第一家银行的贷款年利率是7.02１%，第二家银行的贷款年利率是６.395%。
Sｏlｕｔｉoｎ3:采用fzｅro求解，在Matlab中编程如下:cleａｒclcp1 ＝ fｚero(iｎlinｅ(＇1０0０*x*(1+x).＾180+9-9＊(1+x).^１８0')，[0．0056,0.0066]);p2 = fzerｏ（inline('10０*x*(1+ｘ）.^2０＋9-９*（1+x).^20'), [０.０61,0．07１])；p1ｐ2结果得到p1=0．２8４５３2=0.585１%，相应的年利率为p1n=12＊ｐ1=7．021%；p２=0.238６3=6.395％。
所以第一家银行的贷款年利率是7．02１%，第二家银行的贷款年利率是6．395%。
【结论】由于第一家银行的贷款年利率是7.02１%,第二家银行的贷款年利率是6.395%,所以第二家银行较优惠。