(5.10)式为波矢三个分量的数学表达式，图5.5 为其单位立
方和它的界面示意图。)
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可以看出：
空间中 单位立方体的体积=（2/l)3
(5.14)
可以认为：k 空间中，只要(5.10)式给出的 k 的数值是允许
的，体积为Vk的容积内能够存在的各种 k 的数 量等于边
长为 和k
k
x k
2 / l 的立方体的总个数。可通过 k 空间中 k 之间的能态数目求出态密度。假定一个薄的球
所谓黑体是指能够全部吸收入射的任何频率的电磁波的理想 物体。
平衡时物质具有一定的温度，可以用一个温度来描述光和物 质 的 相 互 作 用 ， 描 述 这 关 系 的 便 是 普 拉 克 发 布 （ Plank distribution）。在特定温度下。黑体辐射出它的最大能量。
经典理论不能够解析黑体辐射曲线。德国物理学家马克斯·普 朗克提出一个假设：这些辐射只能是一些不连续的值，即 电子振动的频率只能取一定值，而且辐射出的能量与其振 动频率成正比[7]。普朗克得出黑体辐射能量分布的公式， 并且同黑体辐射实验的结果完全符合，证明了电子的能级 是量子化，为量子力学奠定了基础。普朗克为此成为量子 力学的开创人，成为20世纪最重要的物理学家之一，他以 其对物理学的杰出贡献获得1918年诺贝尔物理奖。
2，受激辐射
在外来光子的作用下，处于高能级的电子会跃迁到低 能级，并发出与外来光子的特性完全相同的另一光 子。这种辐射不同于自发辐射，是在外来光子激发 下发射出来的，称为受激辐射。受激辐射的光谱窄， 相位一致，有偏振方向，输出功率大。
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入射一个光子引起一个激发原子受激跃迁，辐射出两个同样 的光子。同样地，这两个同样的光子又去激励其它激发 原子发生受激跃迁，获得更多的同样光子。在合适条件 下(提供泵浦的新能量和提供正反馈的谐振腔)，入射光子 就可以象雪崩一样得到放大，辐射出大量波长、相位、 方向等性能都相同的光子，这个过程就是光放大。所有 的激光器都是建立在这种光放大的工作原理基础上的，
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2、俄歇复合
俄歇效应是一个有三粒子参与、涉及四个能级的非辐射复 合的效应。在半导体中，电子与空穴复合时，把能量或 者动量，通过碰撞转移给第三个粒子，第三个粒子跃迁 到更高能态，并与晶格反复碰撞后失去能量。这种复合 过程叫俄歇复合.整个过程中能量守恒，动量也守恒。
俄歇复合有三种：(1)带间过程，(2)声子参与的俄歇过程， (3)陷阱参与的俄歇过程。
因此，受激辐射是光子器件的物理基础。
3，受激吸收
在外来光子的作用下，处于低能级的电子受到该光子的激发 向上跃迁到高能级，并吸收外来光子的能量，改变电子 的能级位置，形成电子-空穴对。这一过程不产生新的光 子，只是消耗被吸收光子的能量而改变电子的能级的位 置，我们将这一过程称之为受激吸收。
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5.2.2 黑体辐射
5.2.1 光辐射和光吸收的基本概念
1，自发辐射
处于激发态的原子中，电子在激发态能级上只能停留 一段很短的时间，就自发地跃迁到较低能级中去， 同时辐射出一个光子，这种辐射过程叫做自发辐射。 自发辐射是不受外界辐射场影响的自发过程，各个 原子在自发跃迁过程中是彼此无关的，不同原子产 生的自发辐射光在频率、相位、偏振方向及传播方 向都是任意的，没有一致的规律。
2，粒子数反转：粒子由低能态抽运至高能态，并且高能态中 的粒子数远远大于该温度下平衡态时的粒子数，出现反转。
3，谐振腔：正反馈使其获得足够大的增益，克服内部和端面 的损耗，产生激光振荡。谐振腔为受激发射的光子选择模 式和进行光放大。
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5.1 辐射复合和非辐射复合
图5.1 电子在能级间的跃迁 (a)受激吸收、(b)受激发射、(c)自发发射、(d)发热等。
Ex (z, t) A cos(t kx z)
(5.7)
依据周期性边界条件要求，x 0 处同 x l处的电场应该相等：
Ex (0,t) Ex (l,t)
(5.8)
又根据周期性和不连续性的要求， (5.7) 是一些分立的数字：
kx 2mx / l
(5.9)
式中 为整数(0，1，2，3，)。对于对称的立方体来说，
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5.1.2 非辐射复合
1、多声子跃迁
声子(phonon)就是“晶格振动的简正模能量量子。”
晶体中原子或分子按一定的规律排列在晶格上，原子总是围 绕着其平衡位置在作不断的振动，同时原子间通过相互作 用而联系在一起，可以近似为弹性力。原子各自的振动牵 动周围的原子，使振动以弹性波的形式在晶体中传播。
等电子杂质不会象施主和受主那样，产生长程作用的 Coulomb势，但却存在有由核心力引起的短程作用势，从 而可形成载流子的束缚态—陷阱能级。
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实验证实，还有两个等电子杂质联合起来形成的成对等电子 陷阱，例如GaP中的对N-N，成对的N-N可以有不同的距 离，(N-N)i，i=1，2，分别表示处于第一近邻、第二近 邻等的N-N对等电子陷阱。
声子并不是一个真正的粒子，不能脱离固体存在。有相互作 用的声子数不守恒，并且声子只是格波激发的量子，在多 体理论中称为集体振荡的元激发或准粒子。声子的化学势 为零，属于玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计。声子本身 并不具有物理动量，但是携带有准动量，并具有能量。
晶体中的电子与空穴复合时，可以激发多个声子，释放出其 能量，由于发光半导体的 通常在1 eV左右，而一个声子的 能量0.06 eV 。因此，电子-空穴复合可以通过杂质、缺陷、 界面态产生多声子跃迁。多声子跃迁是一个几率很低的多 级过程。
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普朗克黑体辐射定律
在温度T下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁 辐射的频率的关系为：
I ( ,T ) 2h 3
1
c2 [exp(h / kT ) 1]
(5.3)
我们已经推导过一维波动方程：
2Ey z 2
00 r 2Ey
2Ey
(5.4)
式中 2 0 0 r 2
(5.5)
求解波动方程(5.4)，可得沿 轴方向传播的电磁波为：
半导体材料中导带底的电子同导带顶的空穴复合，其能量 大
小为：
h
hc
E g
所以有： hc 1.24
Eg Eg
式一中般和来E说g的，单载位流分子别不为完全m和位e于V导。带底最低处和导带顶最高处，
而是导带底和价带顶附近的载流子都会参与这种带间复合，
因而这种带间复合的发射光谱具有一定的宽度。
2，浅杂质与带间的复合
~150μm
~0.5μm heterojunctions ~250μm
产生激光的物质 粒子数反转 谐振腔
受激发射，光子同电子相互作用时，电子的能量发生变化，发 射出新的同样的光子。激光器必须满足的三个基本条件：
1，能产生激光的物质：具有一定的能级或能带结构、载流子 复合速率等特性，为受激发射提供物质基础。
例如，对于GaP半导体中的N和Bi杂质，由于N、P、Bi的电 负性分别为3.0、2.1、1.9，当杂质N取代晶格上的P之后， N比P有更强的获得电子的倾向，则可吸引一个导带的电 子而成为负离子—电子陷阱；当杂质Bi取代晶格上的P之 后，Bi比P有更强的给出电子的倾向，则可吸引价带的一 个空穴而成为正离子—空穴陷阱。
动量 的三个分量为：
px kx
py ky
(5.12)
pz kz
kx 、ky和kz为一系列分立的数值， 因此光子的能量也为一系列的分立
值，称之为能态。进一步计算这些
能态的数量，推导出单位体积中该
能态的数量，即态密度。
波矢是非 常重要 的观念,
k kxax k yay kzaz
(5.13)
式中 a、x ay和 a分z 别为 空间中x、y和z三个方向上的单位矢量。
浅施主—价带、导带—浅受主间的载流子复合产生的辐射光 为边缘发射，其光子能量总比禁带宽度小。
3，施主—受主间的复合
施主能级上的电子同受主能级上的空穴复合产生辐射复合，
其光子能量小于Eg，简称对复合。
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4，激子复合
晶体中的电子和空穴可以稳定地结合在一起，形成一个中性 “准粒子”：激子。
依据激子在晶体中能否自由运动分为自由激子和束缚激子。 激子的稳定性依赖于温度、电场、载流子浓度等。温度较 高时，激子谱线由于声子散射等原因而变宽。在电场的作 用下，激子效应也将减弱，甚至失效。载流子浓度很大时， 由于自由电荷的屏蔽作用，激子也可能分解。总之，激子 束的束缚能较大时，激子比较稳定。
(5.7)式是三维方程，满足周期性条件：
kx 2mx / l k，y 2my / l k，z 2mz / l
(5.10)
式中mx、my、mz都为整数(0，1，2，3，)。分立的kx 、
ky 和Ekz就h给 出了p分c立的电场 值，称之为“模式”： (5.11)
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k空间中单位立方 体及其边界示图
半导体中最近邻的施主-受主对是更为复杂的等电子杂质， 例如GaP中的Zn-O对及Cd-O对，尽管不是等电子杂质， 但是构成类似于晶体中的中性分子。它们也以短程作用 束缚电子，构成等电子陷阱。
等电子陷阱通过短程的势场俘获电子(或空穴) ，形成等电子 陷阱上的束缚激子。它们是局域化的，根据测不准关系， 它们在动量空间的波函数相当弥散，电子和空穴的波函 数有大的交叠，因而能够实现准直接跃迁，从而使辐射 复合几率显著提高。
图5.2 电子在半导体能带间的跃迁
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5. 1.1 辐射复合
1. 带间复合
导带底的电子向下跃迁，同价带顶的空穴复合，
便产生一个光子
h
hc
g
Eg
(5.1)
g
hc Eg
1.2398 Eg
≈1.24 Eg
(5.2)
2. 杂质能级与带间的复合