t0)
x(t)(t)x(0) 则有： x(t)(tt0)x(t0)
线性定常系统的状态转移矩阵
9
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：
1）状态转移矩阵初始条件： (t0t0)I
2）状态转移矩阵满足状态方程本身： (tt0)A (tt0)
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指 数函数本身。
即 A d I ： e A ) 0 ti ( ( i I A ) p i 0 p i T e A
24
（2）当A具有n重特征根 i ：约当标准型 约当矩阵A的矩阵指数函数
eit
eAtTeAtT1
T
0
0
teit
1 tn1eit (n1)!
T1
teit
0
eit
其中： T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。
故上式成立，意为 t 0 至 t 2 的状态转移过程可分解为t 0 至 t 1
及 t 1 至 t 2 的分段转移过程。
11
3、分解性：设A为n×n阶矩阵，t1和t2为两个独立 自变量，则有：
e e e A(t1t2)
A1t A2t
4、可逆性： e At 总是非奇异的，必有逆存在，且：(eAt)1 eAt
23
（1）当A的特征值 1,2,,n为两两相异时：对角线标准型
e1t eAtTeAtT1 T
0
0 T1
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 p i ，并得到T阵及T的逆阵。
3） 代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 拉氏反变换法 ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 ▪ 待定系数法： 凯莱－哈密顿定理
18
1、根据状态转移矩阵的定义求解：
e A tI A A 2 t ! 2t2 A k k !tk A k k !tk k 0 对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是 收敛的 。 求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
d(eAt)AeAteAtA dt
13
7．方阵A和B， 当 ABBA 时，有 eAetBte(AB)t 当 ABBA时，则 eAetBte(AB)t
14
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A d ia g 1 n，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e 2t
0
0
e
n t
15
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
满足初始状态 x(t)|tt0x(t0)的解是：
x (t)eA (t t0)x (t0), tt0（2-2）
满足初始状态 x(t)|t0x(0) 的解是：
x(t)eAx t(0), t0 （2-3）
4
5
6
7
2）用拉氏变换法求解
x Ax
进行拉氏变换可得：
sX (s)X(0)A(s X )
X(s)(sIA )1X(0) 则： X (t) 1[s( IA ) 1]X (0 )
因此： eA t L 1[s(IA )1]
8
2.2 状态转移矩阵
一、状态转移矩阵的含义
已知：线性定常系统的齐次状态方程：x Ax
满足初始状态 x(t)|t0x(0) 的解是： x(t)eAtx(0) 满足初始状态 x(t)|tt0x(t0)的解是：x(t)eA(tt0)x(t0)
令：
eAt (t) eA(tt0) (t
u0
x
(A,B)
齐次状态方程的解： x A,x x (t)|t 0x (0 )
2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称
为强迫运动。
u
x
(A,B)
非齐次状态方程的解： x A B x , x u (t)|t t0 x (t0 )
3
2、齐次状态方程的解： 1）直接求解
x Ax （2-1）
第二章
控制系统状态空间表达式的解
1
本章主要内容
2-1 状态方程的齐次解（自由解） 2.2 状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 连续系统的时间离散化 2.5 线性离散系统状态方程的解
2
2-1 状态方程的齐次解（自由解）
1、线性定常系统的运动
1）、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时， 由初始状态引起的运动称自由运动。
19
2、用拉氏变换法求解：
eA t L 1[s(IA )1]
关键是必须首先求出（sI-A）的逆，再进 行拉氏反变换。
20
21
（2-3）
22
3、标准型法求解：
思路：根据状态转移性变换，得到：
1
A T AT
联立上两式，得到：
eAtTeAtT1
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
说明3：状态转移矩阵的物理意义： 从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地 作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵
x2
x(0) x(t1)
0
t1
x(t2)
t
t2
x1
(t10)
(t2t1)
10
二、状态转移矩阵的基本性质：
1、不发生时间推移下的不变性：
eA(tt)eA0I
[证明]： e A te A e A ( t ) ， t ， 令 e A te A 有 e tA 0 I
(eAt)1eAt
12
5．倍时性
Φt k Φkt
由于
Φ t k e A tk e k A t e A k t Φ (k kttA )
故上式成立。
6、微分性和交换性：对 e At 有：
[证明]：状态转移矩阵定义中，令t＝0即可得证
2．传递性（组合性）
Φ t 2 t 0 Φ t 2 t 1 Φ t 1 t 0
证：由于 x t2 Φ t2 t0 x t0
xt1Φ t1t0xt0
又 x t 2 Φ t 2 t 1 x t 1 Φ t 2 t 1 Φ t 1 t 0 x t 0
T-1ATΛ
e1t
Φ(t)ΦeAtt T
e 2t
0
0
T -1 (2-9)
e
n
t
16
（3）设A为 (n n ) 约当阵，即 A
0
则有
e
t
tet
t2 et 2
Φ
t
et tet
0
1
0
1
t n
n 1
1
!
e
t
t n
n
2
2
!
e
t
(2-10)
tet
e t
17
四、状态转移矩阵的计算
求矩阵指数函数的步骤：
此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变 换阵T。