假如LMS算法运行时，采用一个小的自适应增益常数μ ，并 且过程已收敛到稳态权向量处W opt 附近，则式中 ( k )将接近零。 梯度噪声将逼近于 ^( k ) 2 e ( k ) X ( k ) ( 6 123 ) N (k ) 此时，噪声的协方差为：
) u ( n 3 )]
E [ u ( n ) u ( n 1 )] E [ u ( n ) u ( n E [u ( n )u ( n
2
) u ( n 3 )]
)] E [ u ( n ) u ( n 1 ) u ( n 3 )]
2
E [ u ( n ) u ( n 3 )] E [ u ( n ) u ( n 1 ) u ( n




2 R W 2 P ...( 6 40 )
1 W opt R P ...( 6 42 )
2 R W 2 P ...( 6 40 )
1 W opt R P ...( 6 42 )
Wopt=W-(1/2)R-1
T
y ( k ) X ( k )W ( k ) W ( k ) X ( k )...( 6 31 )
T T
e ( k ) d ( k ) y ( k )...( 6 32 )
以下稍作推导…
e ( k ) d ( k ) X ( k )W d ( k ) W X ( k )...( 6 33 )

3

( 1 ,
2
2
,
3
)

exp [ j ( 1 1 2
3
3
)]
盲均衡器的Bussgang迭代算法


初始值,其余均为零。 Bussgang算法的特点是计算简单，问题是收敛特性，即系 统误差函数具有非凸性，故存在局部最小点。
L ˆ y ( n ) W i ( n )u ( n i ) i L x ( n ) g [ y ( n )] sgn[ y ( n )] ˆ e(n ) x (n ) y (n ) ˆ ˆ W i ( n 1 ) W i ( n ) u ( n i ) e ( n ), i 0 , 1, , L
应用－预测器
应用－自适应模拟
应用－自适应噪声对消
非线性自适应滤波与盲均衡
Deconvolution and Blind Equalization
主要内容：
几个概念 盲均衡 两大类盲解卷积 高阶积累与多谱 K阶多谱 盲均衡器的Bussgang迭代算法
几个概念

解卷积、反卷积(Deconvolution)
1
在主轴坐标系中权向量的协方差：
Cov (V ( k )) min
1 Cov (V ( k )) Q Cov (V ( k )) Q 因而，回到原坐标系，权向量解的噪声近似由下式给出： 1 1 min Q I Q min I ( 6 129 ) Cov (V ( k )) Q Cov (V ( k )) Q 1 min Q I Q min I ( 6 129 )
已知u(n) h(n) 求x(n)

盲解卷积(Blind Deconvolution)
已知u(n) ,未知h(n) 求x(n)和h(n)
在通信中广泛应用的就是盲均衡
基于高阶统计量的盲均衡算法(High Order Statistics) 非线性滤波
两大类盲解卷积

基于高阶统计量的盲均衡算法(High Order Statistics)非线性 滤波
2
W ( k 1) W ( k ) ( k ) W ( k ) 2 e ( k ) X ( k ) ( 6 114 )
→LMS迭代算法
W ( k 1 ) W ( k ) ( k ) W ( k ) 2 e ( k ) X ( k ) ( 6 114
min I ( 6 128 )
失
调
所谓失调，定义为在自适应中，超量均方误差与最 小均方误差之比，它是自适应过程跟踪真正维纳解接近 程度的量度，自适应能力代价的量度。
excessMSE
excessMSE
T E [V ( k ) V ( k )] ( 6 130 )

开环自适应系统

闭环自适应系统
算法
准则 基于梯度

牛顿法→最速下降→ LMS
LMS权向量收敛性 人为噪声 失调

准则
X ( k ) [ x 0 ( k ) x 1 ( k )... x n 1 ( k )] ...( 6 28 )
T
W ( k ) [ w 0 ( k ) w 1 ( k )... w n 1 ( k )] ...( 6 29 )
C 2 ( ) E [ u ( n ) u ( n )]
C 3 ( 1 , 2 ) E [ u ( n ) u ( n 1 ) u ( n 2 )]
C 4 ( 1 ,
2
, 3 ) E [u ( n )u ( n 1 )u ( n
2
2
k=3,即为双谱
C 3 ( 1 , 2 )
1



2

C 3 ( 1 , 2 ) exp [ j ( 1 1 2 2 )]


k=4即为三阶谱（trispectrum）
C
4
( 1 ,
2
,
3
) C
4
1



2


E[V ( k )] I 2 ] V (0)(6 117)
k
V’——W在主轴坐标中的权向量； ——R的对角化特征值矩阵； V’（0）——在主轴坐标中的初始权向量。
lim
E [V ( k )] 0 ( 6 119 )
W ( k ) W opt ( 6 120 )
2 2 T T T
令 则
R E [ X (k ) X
P = E[d(k)x
T
( k )]
d(k)x (k)...d(k) x n -1 (k)] 1
T
(k) 0
= E[e (k)] = E[d(k)] + W RW - 2P W..
2 T T
2

[ ... ]...( 6 39 ) w 0 w1 w n 1 W
T T
e ( k ) d ( k ) W X ( k ) X ( k )W 2 d ( k ) X ( k )W ( 6 34 )
2 2 T T T
E [ e ( k )] E [ d ( k )] W E [ X ( k ) X ( k )]W ( k ) 2 E [ d ( k ) X ( k )]W ...( 6 35 )
自适应滤波器原理
第四小组：马莹娜，翁玮文，陈惠锋，聂晶， 樊川，刘广峰（TL），王绍伟，李朔
内容提要


自适应滤波器概述 自适应的诸多算法（以非递归为例）

最小均方算法（LMS） 自适应预测 自适应模拟 自适应噪声对消

自适应原理应用

自适应陷波
权向量的收敛性
经过多次迭代后，权向量的期望值E[W(k)]将收敛于维 1 纳最优解，即 W opt R P 。
E [W ( k 1 )] E [W ( k )] 2 E [ e ( k ) X ( k )] T E [W ( k )] 2 E { X ( k )[ d ( k ) X ( k )W ( k )]} E [W ( k 1 )] [ I 2 R ] E [W ( k )] 2 P E W ( k )] 2 { [ d ( k ) X ( k )] R E [W ( k )]} [ E 2 R ] E [W ( k )] 2 R W [I ( 6 116 ) opt E [W k )] 2 { P R E [W k )]} ( 6 115 ) ( (
基于隐式高阶统计量的算法
基于显式高阶统计量的算法

基于循环平稳统计量的算法(其均值与方差呈周期性)线性滤波
高阶积累与多谱
考虑一实数、零均值平稳随机过程{u(n)}, E[u(n)]=0,设分别在时刻 n,n+τ 1,...,n+τ k-1,观测到的k 个随机变量为： u(n),u(n+τ1),...,u(n+τk-1) 随机过程{u(n)}的k阶积累： C k ( 1 , 2 , , k 1 ) 其二阶、三阶与四阶积累分别定义如下：
)]
二阶积累＝二阶矩（自相关）；三阶积累＝三阶矩；
四阶积累＝四阶矩 ＋ 六种不同形式的相关函数值
K阶多谱(kth-order polyspectra)
定义:
C k ( 1 , 2 , , k 1 )
1



k 1
C

k
( 1 , 2 , , k 1 )
T 2
T Cov N ( k )) Cov ( N ( k )) E [ N ( k ) ( N ( k )] 4 E [ e ( k )] E [ X ( k ) X ( k )] 4 min R ( 6 125 )