4.2 根轨迹的绘制
低阶系统（如二阶系统）
解析法求根轨迹 （【例4.1.1】）
高阶系统
根轨迹绘制法则，8条
1
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则
法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性 分支数＝MAX（n,m）
G(s)H (s) M (s) N (s)
1 M (s) 0 M (s) N(s) 0 N (s)
s3 3s2 2s K * 0
25
s3 3s2 2s K * 0
计算劳斯表
s3 1
2
s2 s1
3 6 K*
K* 0
3
s0 K*
6K* 0 K* 6 3
用s2行构造辅助方程
Imaginary Axis
例4.2.4
2
K*=6,s=1.414j
1
0
p3=-2
p2=-1
p1=0
-1
-2
3
3
与实轴交角为
(2k
1)
3
,k
0,1, 2
60,180,300
9
开环极点用×表示
例4.2.1
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
有三条渐近线
-5
-5
-4
证明：当 n m 2
征方程
1 G(s)H (s) 0
时，系统闭环特
n
m
(s pi ) K * (s z j ) 0
i 1
j 1
n
m
n
(s pi ) K * (s z j ) (s si )
i 1
j 1
i 1
n
n
m
m
sn ( pi )sn1 ( pi ) K *[sm ( z j )sm1 (z j )]
l
情况下l=2）,k=0,1, …，l-1
分离点的坐标d是可由如下方法确定：
(1)公式法（凑试 法）
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
14
(2)重根法
闭环特征方程： 即：
1 K * M (s) 0 N (s)
N(s) K *M (s) 0
F(s) N(s) K *M (s)
-5
-10
-4
-3
-2
-1
Real Axis
(2) (p2,p3)之间的分离点
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3
分离角
d 2.47
(2k 1) 90, 270
2
16
p1=0
0
1
（3） n-m=2, 有2条根轨迹趋于无穷
渐近线的参数为
a
(2k
1)
2
a
90, 270
3
1
a
i 1
p2=-1
p1=0
-1
-2
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
所以，与虚轴的交点为 2 ，j 临界增益为6
27
法则8：闭环极点的和
当 n m 时2 ，开环极点之和等于闭环极点之和，即
n
n
si pi
i 1
i 1
由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在s平面 上左移时，另外某些极点必然右移
28
1 1 1 d 2 d 1 j d 1 j d 2 2 3.414
尝试其它方法
2.5
2
1.5
1
d=-3.414
0.5
p1=-1+j
Imaginary Axis
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
22
Real Axis
（2）p1点的出射角为
p1 (2k 1) ( p1 z1 ) p1 p2 (2k 1) (1 j) (2 j)
p
j
)
m
n
zi
(2k 1)
(zi j1
ji
z j ) (zi i1
p j )
7 虚轴交点 （1）由劳斯阵列求得
（2）闭环特征方程 1 G(s)H(s) 0 令s j
8 闭环极点 当 n m 2 时 ， 闭环极点之和等于开环极点之和
之和
K*计算
模值条件：
n
(s pj )
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)
a
(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为
(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
GK
(s)
s(s
K *(s 4)(s 2
1) 2s
2)
根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性
制其根轨迹
GK
(s)
s(s
K* 3)(s2
2s
2)
解：1）绘制零极点分布
p1 0
p2 3
p3 1 j
p4 1 j
zi
(2k
1)
m
j1 ji
z j zi
n
j1
p j zi
,
k 0,1,2,
其中
z j zi (zi z j )
p j zi (zi p j )
19
证明：在极点pi附近根轨迹上取一点s1，连线角度近似为起
始角，则
正负一样
m
j1 z js1
n
j1 ji
p js1
pis1
m
j1 ji
z j zi
n
j1 p j zi
,
k 0,1,2,
21
【例4.2.3】绘制如下开环传递函数的根轨迹草图
GK
(s)
K * (s 2) s2 2s 2
解：n 2, m 1, p1 1 j, p2 1 j, z1 2
（1） (,2有) 根轨迹，且有会合点，分离角为 90
5
法则3：根轨迹的渐近线
当 n m时，有 n m条根轨迹分支沿着与实轴交角 为 、交点为 的一组渐近线趋向于无穷远处，
且有
n
m
pi z j
i 1
j 1
nm
a a
(2k 1)
nm
,
k 0,1,, n m 1
a atga
6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
K*
j1 m
(s z j )
i1
31
绘制根轨迹基本步骤
• 计算开环极点、零点，并标注 • 确定根轨迹分支数 • 确定根轨迹起点和终点 • 确定实轴上的根轨迹 • 确定渐近线 • 确定分离点或会合点 • 确定初始角和终止角 • 确定与虚轴的交点 • 计算要求的参数
32
【例4.2.5】单位负反馈系统开环传递函数如下，绘
解：1)根轨迹起始于开环极点
p1 0, p2 4, p3 1 j, p4 1 j
终于开环无穷远零点和有限零点 z1 1 2)根轨迹有4条，且对称于实轴
8
GK
(s)
s(s
K *(s 4)(s 2
1) 2s
2)
3)有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为
pi z1 (4 2) (1) 1.67
(2k
1)
m
n
z j pi
j 1
p j pi
j 1
pi
(2k
1)
ji
其中 z j pi ( pi z j ) pj pi ( pi p j )
20
整理即得
m
n
pi
(2k
1)
z j pi
j 1
p j pi
j 1
ji
终止角的证明类似
zi
(2k 1)
0.419
| d zj |
j 1
p1=0
0
1
17
法则6：起始角与终止角
起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度
pi
(2k 1)
m
j1
z
j
pi
n
j1 p j pi
ji
,
k 0,1,2,
其中
z j pi ( pi z j )
p j pi ( pi p j )
18
终止角（入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度
12
法则5：根轨迹的分离点与分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即 分开的点，称为根轨迹的分离点（会合点）
若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点 若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点 分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根
13
分离角为
(2k 1) l为分离的根轨迹条数（一般
所以根轨迹终于开环零点
4
一般情况下 n m
有n-m条根轨迹终于无穷远处
n
| s pi |
K * lim s
i 1 m
lim | s |nm s
|s，那么根轨迹终 止于开环零点
如果包括无穷零点，则有： 开环零点数（有限零点＋无穷零点）＝开环极点数
GK
(s)
K * (s 1) s(s 2)(s 3)
?4.2.2??? 10