（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。
—
8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为 的菱形，
∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA= , M，N分别为PB,PD的中点。
，
（1）证明：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）当CM⊥AP时，二面角A-MC-B为直二面角，
， ， ，
#
AM⊥平面MBC 平面AMC⊥平面MBC
方法二：
8.（Ⅰ）因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 是 的中位线，所以
又因为 平面 ，所以
平面 ．
（Ⅱ）方法一：
`
连结 交 于 ，以 为原点， ， 所在直线为 ， 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示
所以 · =0，
故 .
（2）解：设向量n=（1， ， ）与平面CDE垂直，
则 ， ，
即 =0， =0.
因为 =（2a,0,a）, =(0,2a,2a),
所以y =2，z =-2，
即n=（1，2，-2），
%
，
直线CM与平面CDE所称的角是45°.
5.方法一：
（Ⅰ）证明：过点 作 交 于 ，连结 ，
可得四边形 为矩形，
又 ， ，故 平面 ，所以 ， ．
所以 为二面角 的平面角，即 ．
设 ．
在 中， ，
，
．
在 中， ．
在 中， ．
`
所以 ．
从而 ，即 ．
方法二：
（Ⅰ）如图，取 中点 ，以 为原点， ，
所在射线为 ， 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 ．
由题意知 ， ， ．
设点 的坐标为 ，因为 ，所以 ．
因为 是 的中点，故 ．又 是 的中点，故 ．
-
所以 ．
所以 ．
而 ， 分别是 ， 的中点，所以
，且 ．
取线段 的中点 ，连结 ， ，则
， ，
所以 为二面角 的平面角．
由 ， ，故
在 中， ， ，得
．
,
在直角 中， ，得
， ， ，
在 中， ，得
．
在等腰 中， ， ，得
．
在 中， ， ， ，得
．
所以二面角 的平面角的余弦值为 ．
9.方法一：
&
（Ⅰ）取 中点 ，在线段 上取点 ，使得 ，连结 ， ，
因为 ，所以 ，且 ．
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 是 的中位线，
所以 ，且 ．
又点 是 的中点，所以 ，且 ．
从而 ，且 ．
所以四边形 为平行四边形，故
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（Ⅱ）作 于点 ，作 于点 ，连结
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
&
又 ， ，故 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
可得 ， …8分
又∵N恰好为BF的中点，∴ .…9分
设 ，∴ .
又∵ ，∴可得 .
故M为线段CE的中点.…11分
设平面BMF的一个法向量为 ，
且 ，
，由 可得 ，
取 得 .…13分
又∵平面MFC的一个法向量为 ，…14分
∴ .
故所求二面角B-MF-C的余弦值为 .…15分
所以 ．
又平面 的一个法向量为 ，故 ．
|
又 平面 ，所以 平面 ．
（Ⅱ）设 为平面 的一个法向量．
由 ， 知 ，
取 ，得 ．
又平面 的一个法向量为 ，于是
，
即 ．（1）
又 ，所以 ，故 ，
即 ．（2）
联立（1），（2），解得 （舍去）或 ．
…
所以 ．
又 是锐角，所以 ．
}
10（1）因为 ， 平面 ， 平面 ，
（I）求证BC⊥平面AFG；
（II）求二面角B－AE－D的余弦值．
.
"
4 在如图所示的几何体中， 平面ABC， 平面ABC， ， ，M是AB的中点．
（1）求证： ；
（2）求CM与平面CDE所成的角
【
5.如图，矩形 和梯形 所在平面互相垂直， ， ， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）当 的长为何值时，二面角 的大小为
又因为 平面 ,所以 平面 ………………8分
（3）因为 平面 ,同理 平面 ，建立如图如示坐标系
设 ，
则 , , ， ，…………………9分
则 ，
设平面 的法向量为 ，有 ， 得
设平面 的法向量为 ，有
得 ………………12分
所以 ………………13分
由图形可知二面角 为钝角
所以二面角 的余弦值为 ． …………………14分
又 为矩形，
所以 ，从而四边形 为平行四边形，
故 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）解：过点 作 交 的延长线于 ，连结 ．
由平面 平面 ， ，得
，
平面 ，
从而 ．
所以 为二面角 的平面角．
在 中，因为 ， ，所以 ， ．
又因为 ，所以 ，
从而 ．
于是 ．
因为 ，
所以当 为 时，二面角 的大小为 ．
所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）解：设
因为翻折后，C与A重合，所以CM=
故 ，
/
得
经检验，此时点N在线段BG上
所以
方法二：
（Ⅰ）解：取截段EF的中点H，AF的中点G，连结 ，NH，GH
因为 及H是EF的中点，
所以 H 解：（Ⅰ）证： AB＝AC，D为BC的中点， BC⊥AD
PO⊥平面ABC PO⊥BC，而PO∩AD=O BC⊥平面ADP AP⊥BC
方法二：如图，以点 为坐标原点，以 和 分别作为 轴， 轴和 轴，建立空间直角坐标系 ．
设 ，
)
则 ， ， ， ， ．
（Ⅰ）证明： ， ， ，
所以 ， ，从而 ， ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
故 平面 ．
（Ⅱ）解：因为 ， ，
所以 ， ，从而
】
解得 ．
所以 ， ．
设 与平面 垂直，
则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
:
设EA＝a，BD＝BC＝AC＝2a，
在直角梯形ABDE中，AB＝2 a，M是AB的中点，
所以DE＝3a，EM＝ ，MD＝ a，
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD＝90°
所以MF＝ ．
在Rt△CMF中，tan∠FCM= =1，所以∠FCM=45°，
故CM与平面CDE所成的角是45°．
所以二面角 平面角的余弦值为 ．…………………………10分
12.（1）证明：因为 ， 是 的中点
所以 ，又
所以四边形 是平行四边形，所以
又因为等腰梯形， ，
所以 ，所以四边形 是菱形，所以
所以 ，即
由已知可知 平面 平面 ，
因为 平面 平面
所以 平面 ……………………4分
（2）证明：因为 ， ，
所以平面 平面
"
所以
又由 的一个法向量.
设 与 所成的角为 ，
则
依题意有： ，解得 .
故当 时，直线 。
（２）若在 上存在这样的点 ，设此点的横坐标为 ，
则 。
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于
《
即 为 的中点时，满足题设的要求.
3.(Ⅰ)在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE 方法一：
又由（1）知， ，且 ，所以 ，所以 ，……12分
所以三棱锥 的体积 ．……14分
11.如图，以 为正交基底，建立空间直角坐标系 ．
则 ， ， ， ，所以 ， ，
， ．
（1）因为 ，
所以异面直线 与 夹角的余弦值为 ．
…………………………4分
（2）设平面 的法向量为 ，
*
则 即
取平面 的一个法向量为 ；
；
6.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF= 沿直线EF将 翻折成 使平面 平面BEF.
>
（I）求二面角 的余弦值；
（II）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C
与 重合，求线段FM的长.
7.如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2
所以 平面 ，………………………………3分
又 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．………………………………6分
（2）在平面 内作 于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
所以 是三棱锥 的高．………………9分
在直角三角形 中， ， ，所以 ，
&l
（2）求三棱锥 的体积．
%
~
11.如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， ．
（1）求异面直线 与 夹角的余弦值；
（2）求二面角 平面角的余弦值．
>
、
12(本小题14分)在等腰梯形 中， ， ， ， 是 的中点．将梯形 绕 旋转 ，得到梯形 （如图）．
…
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求二面角 的余弦值．
（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。
}
9.如图，在四面体 中， 平面 ，
， ， ． 是 的中点， 是 的中
点，点 在线段 上，且 ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；