（第6题）EPD CBA数学基础练习（1）一、填空题（70分）1．已知集合{}{}11,0A x x B x x =-<<=>，则A B =I ． 2．若复数512im +-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m = ． 3．双曲线2212y x -=的离心率为 ．4．在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：成绩（分） 80分以下 [80，100）[100，120）[120，140）[140，160]人数8812102在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为 ． 5．函数2ln(2)y x =-的定义域为 ．6．如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，4PA =，点E 为棱CD 上一点，则三棱锥E －PAB 的体积为 ．7．右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为 ．8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若242a a =，24516a a +=，则5a = ． 结开n ←1 ，xx ←x x +1y ← 2y 输出N （第7n > 5 Y n ← n9．若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线2:e x C y =在1x =处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为 ．10．设函数π()sin())(0,)2f x ωx φωx φωφ=++><的最小正周期为π，且满足()()f x f x -=，则函数()f x 的单调增区间为 ．11．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M，AB 1AD =，且16MA MB ⋅=-u u u r u u u r ，则AB AD ⋅=u u u r u u u r ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ．二、解答题15．已知向量πsin(),36α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a ，(1,4cos )a =b ，(0,π)α∈．（1）若a ⊥b ，求tan α的值； （2）若a ∥b ，求α的值．16．如图，四边形11AA C C 为矩形，四边形11CC B B 为菱形，且平面11CC B B ⊥平面11AA C C ，D ，E 分别为边11A B ，1C C 的中点．C 1B 1CBD（1）求证：1BC ⊥平面1AB C ； （2）求证：DE ∥平面1AB C ．17．如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心，半径为103米的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB （不计B 离河岸的距离），且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧»CD的交点为E ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45︒，30︒和60︒．（1）求烟囱AB 的高度；（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．（第17题）l18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为2，且过点6(1,)，过椭圆的左顶点A 作直线l x ⊥轴，点M 为直线l 上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于P ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：AP OM ⊥；（3）试问OP OM ⋅u u u r u u u u r是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．附加题（第22题）B ． 求曲线1x y +=在矩阵M 10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．C ．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin r q q =+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)，求直线l 被曲线C 所截得的弦长．22．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面60ABC ∠=︒，PA =M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面PAD 所成的二面角的正弦值．数学参考答案一、填空题1．{}01x x << 2．1- 3 4．0.3 5．(),-∞+∞U6．4 7．16 8．1329．13e - 10．π[π,π],()2k k k -+∈Z11．3412．二、解答题15．解：（1）因为a ⊥b ，所以πsin()12cos 06αα++=， ……………………………2分1cos 12cos 02ααα++=25cos 02αα+=， …………………4分又cos 0α≠，所以tan α=． ………………………………………………6分 （2）若a ∥b ，则π4cos sin()36αα+=， ……………………………………………8分即14cos cos )32ααα+=， 2cos22αα+=， ………………………………………………………10分所以πsin(2)16α+=， ………………………………………………………………11分因为(0,π)α∈，所以ππ13π2(,)666α+∈， ………………………………………13分所以ππ262α+=，即π6α=． ……………………………………………………14分16．证明：（1）∵四边形11AA C C 为矩形，∴AC ⊥1C C ，………………………………2分 又平面11CC B B ⊥平面11AA C C ，平面11CC B B I 平面11AA C C =1CC ，∴AC ⊥平面11CC B B ， ……………………………………………………………3分 ∵1C B ⊂平面11CC B B ，∴AC ⊥1C B ， ……………………………………………4分 又四边形11CC B B 为菱形，∴11B C BC ⊥， …………………………………………5分 ∵1B C AC C =I ，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ，∴1BC ⊥平面1AB C ．…………………………………………………………………7分 （2）取1AA 的中点F ，连DF ，EF ，∵四边形11AA C C 为矩形，E ，F 分别为1C C ，1AA 的中点， ∴EF ∥AC ，又EF ⊄平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ,∴EF ∥平面1AB C ， ………………………………………………………………10分 又∵D ，F 分别为边11A B ，1AA 的中点，∴DF ∥1AB ，又DF ⊄平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C ,∴DF ∥平面1AB C ，∵EF DF F =I ，EF ⊂平面DEF ，DF ⊂平面DEF ， ∴平面DEF ∥平面1AB C ，…………………………………………………………12分 ∵DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面1AB C ．…………………………………………14分 17．解：（1）设AB 的高度为h ，在△CAB 中，因为45ACB ∠=︒，所以CB h =， ………………………………1分 在△OAB 中，因为30AOB ∠=︒，60AEB ∠=︒， ………………………………2分所以OB =，EB =， ………………………………………………………4分=15h =． ………………………………………6分 答：烟囱的高度为15米． ……………………………………………………………7分（2）在△OBC 中，222cos 2OC OB BC COB OC OB+-∠=⋅56==， …………………10分所以在△OCE 中，2222cos CE OC OE OC OE COE =+-⋅∠53003006001006=+-⨯=． …………………13分答：CE 的长为10米． ……………………………………………………………14分18．解：（1）∵椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>，∴222a c =，则222a b =，又椭圆C 过点，∴221312a b+=．…………2分 ∴24a =，22b =，则椭圆C 的方程22142x y +=． …………………………………………………4分（2）设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为(2)y k x =-，设11(,)P x y ，将(2)y k x =-代入椭圆C 的方程22142x y +=中并化简得：2222(21)4840k x k x k +-+-=，………………………………………………………6分解之得2124221k x k -=+，22x =，∴1124(2)21ky k x k -=-=+，从而222424(,)2121k k P k k --++．………………………………８分令2x =-，得4y k =-，∴(2,4)M k --，(2,4)OM k =--u u u u r． ………………………9分 又222424(2,)2121k k AP k k --=+++u u u r ＝22284(,)2121k k k k -++， …………………………………11分∴2222161602121k k AP OM k k -⋅=+=++u u u r u u u u r ，∴AP OM ⊥． ………………………………………………………………………13分（3）222424(,)(2,4)2121k k OP OM k k k --⋅=⋅--++u u u r u u u u r =2222284168442121k k k k k -+++==++． ∴OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值4． …………………………………………………………16分B ． 解：设点00(,)x y 为曲线1x y +=上的任一点，在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则由0010103x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………………………………3分得：00,1,3x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 即00,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩ ………………………………………………………5分 所以曲线1x y +=在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线为31x y +=， ………………………………………………………………………………8分所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯=． …………………………………10分C ．解：曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，圆心为(1,1)， …………………………………………………………3分0y -， ………………………………………5分所以圆心到直线的距离为12d ==， ………………………………8分所以弦长= ………………………………………………………10分 22．解：（1）设AC 与BD 交于点O ，以O 为顶点，向量OC u u u r ，OD u u u r为x ，y 轴，平行于AP且方向向上的向量为z 轴建立直角坐标系．………………………………………………1分则(1,0,0)A -，(1,0,0)C，(0,B，D，(P -，所以M，MD =u u u u r，(1,PB =u u u r ， ……………………3分cos ,0MD PA MD PA MD PA⋅<>===u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r ．…………………………………4分 所以异面直线PB 与MD 所成的角为90︒． …………………………………………5分 （2）设平面PCD 的法向量为1111(,,)x y z =n ，平面PAD 的法向量为2222(,,)x y z =n ，因为(CD =-u u u r，PD =u u u r，(0,0,PA =u u u r，由11111110,0,CD x PD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n u u u ru u u r 令11y =，得1=n ， ……………………7分由2222220,0,PA PD x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n u u u ru u u r 令21y =-，得21,0)=-n ， …………………8分所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n12sin ,<>=n n ．……………10分。