第8章教学方案——弯曲应力和强度计算
第8章弯曲应力和强度计算
8.1 弯曲的概念和力学模型的简化
8.1.1 弯曲的工程实例
在工程实际中, 一般把这种以弯曲变形为主的杆件叫做梁。
( 1) 简支梁: 梁的端部一端用固定铰支座支承, 另一端用可动铰支座支承, 这样的梁称为简支梁。
如图8.1( a) 所示的行车大梁, 轨道对两端车轮轮缘的约束作用可简化为一个固定铰支座、一个可动铰支座, 因此可简化为简支梁, 如图8.1( b) 所示。
( 2) 外伸梁: 支承与简支梁相同, 但梁的一端或两端伸出支座以外, 这样的梁称为外伸梁。
图8.3( a) 所示火车轮轴就能够简化为外伸梁, 如图8.3( b) 所示。
( 3) 悬臂梁: 梁的一端是固定端, 另一端是自由端的梁称为悬臂梁。
如图8.2( a) 所示塔罐就能够简化为图8.2( b) 所示悬臂梁。
梁在两支座间的部分称为跨, 其长度称为梁的跨长。
常见的静定梁大多是单跨的。
8.1.2 弯曲的受力和变形特点
( a)
( b)
F 2
A F 1
B
受力特点: 杆件承受作用在轴线所在平面内、 且垂直于轴线的横向外力或外力偶的作用。
变形特点: 杆的轴线在变形后由直线变成曲线, 同时杆的各个横截面也发生了转动。
8.1.3 平面弯曲的概念
如图: 梁的横截面都有一根纵向对称轴。
整个杆件有一个包含轴线在内的纵向对称面。
当外力( 载荷与支座反力) 都作用在该对称面内时, 梁弯曲变
梁变形后的轴线
A
F
F 2
对称
纵向对
F B
图8.4
形后, 轴线仍保持在此对称平面内, 成为一条平面曲线( 图8.4) , 这种弯曲叫做对称弯曲。
一般将梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合的弯曲变形称为平面弯曲。
8.2 剪力和弯矩
8.2.1 剪力和弯矩
在弯曲外力作用下, 梁产生弯曲变形, 横截面上的内力能够经过截面法求出来。
如图8.5( a) 所示的简支梁, 在外力作用下处于平衡状态。
现假想在距左端为x 的m-m 截面处, 用一假想的垂直于梁轴线的平面将梁截为两段, 取其中的任一段梁, 例如取左段梁研究, 并将右段梁对它的作用以截面上的内力来代替( 图8.5( b) ) 。
为使左段梁保持平衡, 在其右端截面上, 应该有两个内力: 沿截面切线方向的力Q F 和力偶矩
M , 力Q F 称为剪力, 力偶矩M 称为
弯矩。
1．剪力和弯矩的计算
上述梁在截面m-m 上内力——剪力Q F 和弯矩M 的具体数值可由平衡条件求得, 即
0=∑Y , 0=-Q RA F F
=∑O M , 0=--M x F RA (矩心O 为截面m-m 的形心)
可得RA Q F F =, x F M RA =。
图8.5
Q
F Q F
2．剪力、 弯矩符号的规定
为了研究方便, 现对梁的内力——剪力和弯矩作如下的正负号规定。
( 1) 剪力符号规定
取微段梁, 若截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时, 剪力为正; 反之为负。
如图8.6所示。
( 2) 弯矩符号规定
取微段梁, 若截面上的弯矩使得梁呈凹形时, 弯矩为正; 使梁变
成凸形时, 弯矩为负。
如图8.7所
示。
在计算横截面上的剪力和弯矩时, 一般先按正向假设, 这样经过列平衡方程计算出的结果, 其符号就与规定的符号一致, 不需要再进行符号讨论。
8.2.2 剪力方程和弯矩方程
假设梁截面位置用沿梁轴线的坐标x 表示, 则梁的各个横截面上的剪力和弯矩都能够表示为坐标x 的函数, 即:
)
(x F F Q Q =, )(x M M =
一般把它们叫做梁的剪力方程和弯矩方程。
Q
F Q
F Q
F Q
F 图
图
8.2.3 剪力图和弯矩图
为了表明内力沿梁轴线的变化情况, 一般见图形将剪力和弯矩沿梁长的变化情况表示出来, 这样的图形分别称为剪力图和弯矩图。
基本作法: 先列出剪力方程和弯矩方程, 建立以梁横截面位置x 为横坐标, 以横截面上的剪力和弯矩为纵坐标的坐标系, 然后经过方程绘出表示)(x F Q 或)(x M 的图线。
【例8-1】 图8.10( a) 所示的简支梁, 在全梁上受集度为q 的均布载荷作用, 试作梁的剪力图
和弯矩图。
解: 求此梁的内力图时, 应先求支座反力、 列内力方程, 最后由内力方程作内力图。
( 1) 求支座反力 利用平衡方程求得
2
ql
F F RB RA =
= ( 2) 建立内力方程
取距左端为x 的任意横截面, 考虑截面左侧的梁段, 则梁的剪力和弯矩方程分别为
qx ql
qx F x F RA Q -=
-=2)( ( 0＜x ＜l ) 2221
221)(qx x ql qx x F x M RA -=-=
x
x
B
F Q M
( c) 图8.10
( 0≤x ≤l )
( 3) 画内力图
剪力方程是x 的一次函数, 因此剪力图是一条倾斜直线段。
由
2
)0(ql F Q =
, 2
)(ql
l F Q -
=可画出剪力图( 图8.10( b) ) 。
弯矩方程是x 的二次函数, 因此弯矩图是一条二次抛物线。
由
0)0(=M ,
8
)2(2ql l M =, 0)(=l M 可画出弯矩图( 图8.10( c) ) 。
【例8-2】 图8.11( a) 所示
的简支梁, 在C 点处受集中力F 的作用, 试作梁的剪力图和弯矩图。
解: ( 1) 求支座反力 利用平衡方程求得
l Fb F RA =
, l
Fa F RB = ( 2) 建立内力方程
由于梁在C 点处有集中力F 的作用, 则在集中力两侧的梁段, 其剪力和弯矩方程均不相同, 因
此, 内力在全梁范围内不能用一个统一的函数式来表示。
必须以C 为界, 将梁分为AC 和CB 两段, 分别写出其剪力方程和弯矩方程。
对AC 段梁, 其剪力方程和弯矩方程分别为
l
Fb
x F =
)(Q ()a x <<0
F
M
x
( c) 图8.11。