《数学实验》课程实验指导书2006-4-29目录实验一、微积分基础 3实验二、怎样计算 5实验三、最佳分数近似值 6实验四、数列与级数 7实验五、素数 8实验六、概率 9实验七、几何变换 11实验八、天体运动 13实验九、迭代（一）——方程求解 15实验十、寻优 16实验十一、最速降线 18实验十二、迭代（二）——分形 20实验十三、迭代（三）——混沌 21实验十四、密码 22实验十五、初等几何定理的机器证明 23附表（实验报告） 24实验一、微积分基础一、实验目的及意义：1、熟悉Mathematic软件常见函数图形2、通过作图，进一步加深对函数的理解，观察函数的性质3、构造函数自变量与因变量的对应表，观察函数的变化。

二、实验内容：1．1函数及其图象1．2数e1．3 积分与自然对数1．4调和数列1．5双曲函数三、实验步骤1.开启软件平台——Mathematics ，开启Mathematics编辑窗口；2.根据各种问题编写程序文件3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）1、1函数及图形(1)在区间[-0.1,0.1]上作出 y = sin(x)/x 的图象,观察图象在 x = 0 附近的形状(2)在同一坐标系内作出函数y = sin(x) 和它的展开式的前几构成的多项式函数y = x-x^3/3!,y = x-x^3/3!+x^5/5! . . . 的图象,观察这些多项式函数图象对 y = sin x 的图象逼近的情况.(3)分别取n =10,20,画出函数 y = sin(2k-1)x/(2k-1),k=1,2,...,n求和} 在区间[-3PI,3PI]上的图象.当N 趋向无穷时函数趋向什麽函数?(4)别取n = 5,10,15, 在同一坐标系内作出函数f(x) = sin x 与p(x) = x * (1-x^2/PI^2)*(1-x^2/(2^2*PI^2))*...*(1-x^2/n^2*PI^2))在区间[-2PI,2PI]上的图象,观察 p(x) 图象对 y = sin x的图象逼近的情况.1、2数e观察当n趋于无穷大时数列a n=(1+1/n)n和A n=(1+1/n)n+1的变化趋势:（1）n=10m,m=1,2,. . . ,7时的值,a n,A n观察变化趋势.（2）在同一坐标系内作出三个函数地图象y=(1+1/10x)10^x , y=(1+1/10x)10^x , y=e观察当 x 增大时图象变化趋势（3）计算 e 的精确值.1.3积分与自然对数1）计算1/x的大和及小和以及两者的平均，观察变化趋势。

2）在同一坐标内作出 S[x] 和 lnx 的图象。

1.4调和数列1）、在同一坐标内作出点集（n，H（n））连线和lnx的图象。

2）、在同一坐标内作出C(n)=H(n)-ln (n)和H(n)-ln (n+1)，观察C(n)变化趋势1．5双曲函数1）、在同一坐标内作出u=1.5时cht和y=ax2 +1的图象。

2）、在同一坐标内作出u=0.1,0.01,0.001,...时cht和y=ax2 +1的图象。

]实验二、怎样计算π一、实验目的及意义：1、用现代技术实现π的近似值的计算。

2、掌握计算π的几种方法二、实验内容：2．1数值积分法2．2泰勒级数法2．3 蒙特卡罗方法三、实验步骤1.开启软件平台——Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口；2.根据各种问题编写程序文件3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）2．1数值积分法.梯形公式：S={(b-a)[y(0)+y(1)+y(2)+...+y(n)-y(0)/2-y(n)/2]}/n其中，[a,b]为积分区间，yi为函数在a+i(b-a)/n的值。

辛普森公式(Simpson)：S= (b-a)[(y(0)+y(n))+2(y(1)+y(2)+...+y(n-1))+4(y(1/2)+y(3/2)+y(n-1/2)]/(6n)(1)对不同N，用梯形公式和辛普森公式计算Pi的近似值。

(2)对不同的N=1000，10000，100000，。

，观察用梯形公式和辛普森公式计算Pi的误差。

(3)用梯形公式和辛普森公式计算s单位圆面积2．2泰勒级数法用反正切函数的泰勒级数arctan(x)= x-(x^3)/3+(x^5)/5-...((-1)^(k-1))x^(2k-1)/(2k-1)+...计算pi。

其中x^n 表示x的n次方：pi= 16arctan(1/5)-4arctan(1/239).这称为Maqin公式2．3 蒙特卡罗方法1）取不同的n做实验，将所得的π的近似值记录下来，与已知的π的值比较2）请尝试设计一个方案，用以计算机模拟蒲丰投针法实验。

得出π的近似值实验三、最佳分数近似值一、实验目的及意义：1、掌握怎样用分数近似值去对给定的无理数作最佳逼近。

二、实验内容：3．1 分数对无理数的最佳逼近3．2乐音的频率比3．3实数的分数展开3．4计算对数值3．5二元一次不定方程的整数解三、实验步骤1.开启软件平台——Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口；2.根据各种问题编写程序文件3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）3．1分数对无理数的最佳逼近1） Pi分母q依次取遍1到100 000的最佳逼近分数。

对每个分母q，取p=[]0.5qπ+作为分子得到一个最接近Pi的分数p/q2）上述分数中比较精确者3．2乐音的频率比请自己用C语言将所给的频率产生乐音,如TC2.0 中的sound(a),a为频率。

3．3实数的分数展开1)输入展开数（可用缺省值pi)及输入展开个数，当展开数小数部分少时，展开个数也应小。

(1)这些分数是否为最佳逼近的近似值；(2)计算相临两个渐进分数之差的分子。

2)利用连分数展开重做练习2。

3．4计算对数值1)用辗转相除法求lg2的前几个渐近分数，展开成小数近似值并估计他们的误差，将所得结果与练习四的结果作比较2) 用辗转相除法求LogbN的前几个渐进分数，展开成小数并估计它们的误差3．5二元一次不定方程的整数解问题: 设a,b,c是整数,求二元一次方程ax+by=c的整数解.( a,b,c可以自己选择)实验四、数列与级数一、实验目的及意义：1、用计算机图示的方法去寻找数列的规律及其极限状态的性质2、加深对极限概念的理解，进一步理解无穷小的概念和收敛速度问题二、实验内容：4．1 Fibonacci 数列4．2调和级数三、实验步骤1.开启软件平台——Mathematica ，开启Mathematica 编辑窗口；2.根据各种问题编写程序文件3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）4．1 Fibonacci 数列1）分别取N=20，50，100，200，500，观察Fibonacci 数列的折线图，考察其性质。

2）分别取不同的N,用直线去拟合数据(n,log(Fn)),n=1,2,3,..., N, 由此求Fn 的近似表示 :( Log(Fn)=a+b*n,观察其线性项的系数b 与黄金分割数0.618...的联系。

3）证明:公式8不是Fibonacci 数列通项(推荐使用c=2.3606794）公式9是Fibonacci 数列通项4．2调和级数1）取充分大的N ，观察调和级数的折线图，与,y x y y === 2）对充分大的一系列n ，计算2n n S S -，猜测2n n S S -当n 趋于无穷的极限，更一般地2k n n S S -趋于无穷的极限是什么？反过来，固定n ，让k 趋于无穷，2k n S 趋于无穷的速度是什么？得出n S 当n 趋于无穷的极限阶。

3）用()J n 表示不小于n S 的最小整数（1）对1,2,3n N =，计算()()2J n J n -，对每个n ，设()()1J m J n =+，则/m n 的范围是？（2）对每个1,2,330m =，另n 是使得()J n m =成立的最大整数，我们记为()L m ，试计算比值()()1/L m L m +，我们可以得到什么结果，当m 趋于无穷，()L m 关于m 的阶是多大？由此，n S 关于n 的极限阶是多少？实验五、素数一、实验目的及意义：1、探讨素数懂得规律及相关的某些有趣问题，掌握几个生成素数的公式二、实验内容：5．1 素数的判别与求解5．2生成素数的公式5。

3素数的分布三、实验步骤1.开启软件平台——Mathematica ，开启Mathematica 编辑窗口；2.根据各种问题编写程序文件3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）5．1 素数的判别与求解1）已知前n 个素数，按从小到大的顺序排列为12,n p p p ，计算121n n N p p p =+是否都是素数，如不是，是否含有不同于12,n p p p 的因子。

以20为例。

2）利用Eratosthenes 筛选法，通过计算机编程求10000以内的所有素数。

3）利用试除法，通过计算机编程求10000以内的所有素数。

比较那一个更有效4）请输入n(1<n<1001) 观察m*n -1被n 整除的余数d (m(n-1)≡d mod[n])5）判断Mersenne 数M 7和M 11是否是素数. 6）请输入n (1<n<501 ) 判断那些Mersenne 数Mn=2n-1是素数.5．2生成素数的公式1）对n=1,...,1000计算公式一： M=n 2+n+41.它们是否都给出素数？在10000以内的素数中，由公式一：M=n 2+n+41给出的占多少？同样讨论公式二：M=n 2-79n+1601和公式三：M=6n 2+6n+31.5.3素数的分布1）将素数从小到大排序P 1=2,P 2=3,....用d n =P n+1-P n 表示相邻的素数间的间隔.计算d 1,d 2,...,d n 并画图2）在二维坐标平面上标出点列(n,Π(n)),n=1,2,...,N。