Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
o
x
dm
dx L
l
B
3
（2）对于通过棒的中心的轴 A
C dm B
L/2
L/2
Ic x2dm x2dx
o
L2
x dx
L2
L/2
L / 2
1 L3 1 mL2
12
12
IA
IC
m(
L)2 2
11
上例中IC表示相对通过质心的轴的 转动惯量， IA表示相对通过棒端 的轴的转动惯量。两轴平行，相距
强调：对于刚体的定轴转动，我们只能用角动量来 描述，而不能用动量来描述。
6
三、定轴转动刚体的转动惯量
1 .定义 刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至
转轴的垂直距离的平方的乘积之和。
I (Δmiri2 )
I是描述刚体转动惯性大小的物理量。
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？
①.与刚体质量有关。
②.与质量对轴的分布有关。
例：半径为 R 质量为 M 的圆盘，求绕x 直径轴转动的转
动惯量Jy。
解：圆盘绕垂直于盘面的质心 z
轴转动的转动惯量为：
Iz
1 2
MR2
y
动 画
Iz Ix Iy 2Iy
z
Iy
1 2
Iz
1 MR2 4
x
20
计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的 办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计 算方法进行计算，最后求和。
3
例1：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为
的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。
解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩
擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴
3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。
4. 转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度。
5.刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。
15
例6 一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑
轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，
绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处
摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时 mg
的速度和此时滑轮的角速度。
解： 对M：M ＝ TR＝Iβ
I＝1 MR2 2
对m : mg T ma a Rβ
解 方 程 得 ： a
m
m M
2
g
v
2ah
4mgh 2m M
ω
v R
1 R
4mgh 2m M
16
例7 两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小
圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径r’=2r，质量m’ = 2m。
质量的线密度、面 密度和体密度。
质量均匀分布且形状以规则对称的，可利用上 面的公式计算转动惯量，对于形状复杂的刚体通 常通过实验测得其转动惯量。
8
例2：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面 的质心轴转动，求转动惯量I。
解：分割质量元 dm圆环上各质量元到轴的距离相等，
M
I R2dm R 2 0M dm MR 2
对几何轴oz的转动惯量。
z
解：在半径为r( R1 r R2 )处,取一薄圆
R1
dr
r
柱壳形状的质元,其长为l半径为r厚度为dr, R2
则该质元的质量为dm dV ( 2 rdr )l
l
I
r2dm
m
R2 R1
2
l
r 3dr
l
2
(
R24
R14
)
圆筒的体密度
m (R22 R12 )l
I
1 2
m(R22
R12 )
o
若R1
0,
R2
R,
I
1 2
mR 2
若R1 R2 R, I mR 2
10
例4 求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。
（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。
x x
（2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。
解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为： m
I A
该力对转轴的力矩为零。 M r F
大小：M Fr sin
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面 2
说明： a)力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为0；
b)同一个力对不同的转轴的矩不一样；
c)当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力对交 点O的矩等值。但不能说完全相同。
d)在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上， 它们的作用可以与某一个力矩相当这个力矩叫做这几 个力的合力矩。合力矩与合力的矩是不同的概念，不 要混淆。 在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。 3 .力矩的计算
刚体定轴
合外力矩 内力矩之和 转动定律！
I
用M表示∑Fit ri （合外力矩），有： M I
刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚 体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所 获得的角加速度的乘积。
注意几点:
1. 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。
2. M、I、是对同一轴而言的。
例8 如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的 水平轴转动。已知棒长为l，质量为m，开始时棒处于水平位 置。令棒由静止下摆，求：（1）棒在任意位置时的角加速度；
（2） 角为300，900时的角速度。
解 : (1) 棒在任意位置时的重力 矩
M mg l cos
2
M I 1 ml2
3g cos
组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴o转
动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘上分别绕有轻质
细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，这一系统从静止
开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不变。已知r =10cm 。 求：
（1）组合轮的角加速度；（2）当物体上升h=0.4m时，组合轮
定轴转动刚体的 转动定律度 力矩 角动量 转动惯量
1
一、作用于定轴刚体的合外力矩
1 .力对固定点的矩
M
r F
2 .力对固定轴的矩
（1）力垂直于转轴
这种情况相当于质点绕固定
点O转动的情形。
M
F
Or
d
Pr
（2）力与转轴不垂直 可以把力分解为平行于转轴的
分量和垂直于转轴的分量。
平行转轴的力不产生转动效果，
解：绕细杆质心的转动惯量为： IC
绕杆的一端转动惯量为 I 1 ml2
1 ml2
12
m
l
2
1
ml
2
12
2 3
13
四、定轴转动的转动定律
取刚体内任一质元i，它所受合外力为 Fi，内力为 f。i
只考虑合外力与内力均在转动平面 内的情形。
z (, )
对mi用牛顿第二定律： Fi fi miai
的角速度。
解： T mg ma 解得: 2g (19r )
o
mg T ma
T (2r) Tr 9mr 2
a r
10.3rads2
2
a
m, r
T
m, r
T
A
T
T
B a
a (2r)
mg
mg
(2) 设 为组合轮转过的角度 ,则: h r
2 2 (2 h r)1 2 9.08 rad s1 17
5
L Li (riΔmivi) (Δmiri2 )ω
令：I (Δmiri2 )
刚体绕OZ轴转动的转动惯量
L Iω
注意：
刚体绕OZ轴转动的角动量
a)力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某一时 刻而言，它们都不是时间的累积效应。
b)力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们是相 对于哪个轴或哪个点。
3
2l
(2) mg 1 cos 1 ml2 d
2