期望与方差的相关公式的证明-、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。

因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。

[]1定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。

（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。

（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。

三、 方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。

但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称]))([(2X E X E -为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。

方差的算术平方根)(X D 称为随机变量X 的标准差，记作)(X σ，即)()(X D X =σ由于)(X σ与X 具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。

D ξ表示ξ对E ξ的平均偏离程度，D ξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。

若方差)(X D =0，则随机变量X 以概率1取常数值。

由定义4知，方差是随机变量X 的函数2)]([)(X E X X g -=的数学期望，故⎪⎩⎪⎨⎧--=⎰∑∞∞-∞=连续时当离散时当X dx x f X E x p X E x X D k k k k ,)()]([X ,)]([)(212当X 离散时, X 的概率函数为 ,2 ,1 ,)()(====k P x X P x P K K k ； 当X 连续时，X 的密度函数为)(x f 。

求证方差的一个简单公式：公式1：22)]([)()(X E X E X D -=证明一：22222)]([)(])]([)(2[]))([()(X E X E x E X XE X E X E X E X D -=+-=-=证明二：21()ni i i D x E p ξξ==-⋅∑2212211122222[2()]2()2()()()ni i ii nn ni i i i i i i i x x E E p x p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+⋅=-⋅+⋅=-+=-∑∑∑∑22()D E E ξξξ∴=-可以用此公式计算常见分布的方差四、方差的性质（1）设C 是常数,则D (C )=0。

（2）若C 是常数,则)()(2X D C CX D =。

（3）若X 与Y 独立，则公式2： )()()(Y D X D Y X D +=+。

证 由数学期望的性质及求方差的公式得{}{})()()]([)()]([)()()(2)]([)]([)()(2)()()]()([]2[)]([])[()(2222222222222Y D X D Y E Y E X E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E x E XY Y X E Y X E Y X E Y X D +=-+-=---++=+-++=+-+=+可推广为：若1X ,2X ，…，n X 相互独立，则∑∑===ni i ni i X D X D 11)(][∑∑===ni i i n i i i X D C X C D 121)(][（4） D (X )=0 ⇔P (X = C )=1， 这里C =E (X )。

五、常见的期望和方差公式的推导过程（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）p i ≥0，i ＝1，2，...； （2）p 1＋p 2＋ (1)2．离散型随机变量期望和方差的性质： E (a ξ＋b)＝a E ξ＋b ，D (a ξ＋b)＝a 2 D ξ。

（1） 公式3：E （a ξ+b ）=aE ξ+b ，证明：令a b ηξ=+ ,a b 为常数 η也为随机变量 ()()i i P ax b P x ξ+== 1,2,3...i = 所以 η的分布列为1122()()...()n n E ax b p ax b p ax b p η=++++++=112212(......)(......)n n n a x p x p x p b p p p ++++++++E η=aE b ξ+()E a b aE b ξξ+=+说明随机变量ξ的线性函数a b ηξ=+的期望等于随机变量ξ期望的线性函数（2） 公式4：D （a ξ+b ）=a 2D ξ（a 、b 为常数）.证法一： 因为 21()ni i i D x E p ξξ==-⋅∑2212211122222[2()]2()2()()()ni i ii nn ni i i i i i i i x x E E p x p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+⋅=-⋅+⋅=-+=-∑∑∑∑22()D E E ξξξ∴=-所以有：222211()[()]()nni i ii i i D a b ax b aE b p ax E p a D ξξξξ==+=+-+⋅=-⋅=∑∑ 证毕证法二：D ξ=222221111()2()()nnnni i i i i i ii i i i x E p x p E x p E pE E ξξξξξ====-⋅=-+=-∑∑∑∑.E(aξ＋b)＝aEξ＋b ， D(aξ+b)=a 2Dξ．222211()[()]()nni i ii i i D a b ax b aE b p ax E p a D ξξξξ==+=+-+⋅=-⋅=∑∑（二）二项分布公式列举及证明1．二项分布定义：若随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝C n k p k q n-k 。

（k ＝0，1，2，…，n ，0＜p ＜1，q ＝1－p ，则称ξ服从二项分布，记作ξ~B (n ，p )，其中n 、 p 为参数，并记C n k p k q n-k =b(k ；n ，p )。

2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。

即：（1）P (ξ＝k )＝C n k p k q n-k ＞0，k ＝0，1，2，…，n ； （2）∑=nk 0P (ξ＝k )＝∑=nk 0C n k p k q n-k ＝(p ＋q) n ＝1。

二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。

3．服从二项分布的随机变量ξ的期望与方差公式： 若ξ～B （n ，p ），则E ξ=np ，D ξ=npq （q =1－p ）.（3） 公式5：求证：E ξ=np方法一：在独立重复实验中，某结果发生的概率均为p （不发生的概率为q ，有1p q +=），那么在n 次实验中该结果发生的次数ξ的概率分布为服从二项分布的随机变量ξ的期望E np ξ=.证明如下：预备公式 11k k n n kc nc --=100110220211(1)()11011111()(......)n n n n k k n n k n n n n n n n p q c p q c p q c p q c p q c p q ----------------+=++++++ 因为()(1),k k n k k k n kn np k c p p c p q ξ--==-= 所以 001112220012......n n n k k n k n nn n n n n E c p q c p q c p q k c p q nc p q ξ---=⨯+⨯++⨯++⨯++ =00110220211(1)()11011111(......)n n n k k n n k n n n n n n n np c p q c p q c p q c p q c pq ---------------++++++ =1()n np p q np -+= 所以 E ξ= np 得证方法二： 证明：若 ),(~p n B X ，则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X 的数学期望。

若设⎩⎨⎧=次试验失败如第次试验成功如第i i X i 01 i =1,2，…，n则12...n X X X X =+++，因为 P X P i ==)1(，q P X P i =-==1)0( 所以p p q X E i =*+*=10)(，则=)(X E np X E X E ni i ni i ==∑∑==11)(][可见，服从参数为n 和p 的二项分布的随机变量X 的数学期望是np 。

需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。

公式621212(1)k k k n n n k C nC n n C ----=+-211k k n n k C knC --=1111111212[(1)1](1)(1)k n k k n n k k n n n k C nC n k C nC n n C ----------=-+=+-=+- 21212(1)k k k n n n k C nC n n C ----∴=+-求证：服从二项分布的随机变量ξ的方差公式7：D ξ=npq （q =1－p ）. 方法一：证明： 220ni i n in i E i C p q ξ-==∑111212221110122211212111221122(1)(1)()(1)()(1)nnn i i n ii i n inn n i i nnn i i n in i i n in n n i i n n n n n n C pq nCp qn n C p q npqnp Cp qnpC q n n pCp q npq np p q npq n n p p q npq np npq n n p np n p -------==-----------==------=++-=+-+-=++-+-+=+-+-=+∑∑∑∑222222(1)np np p n p npq n p -=-+=+由公式1知22()D E E ξξξ=-222()npq n p np npq=+-=方法二： 设~(,)B n p ξ, 则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数。