表示（注：这一点最早由阿基米德发
现）．由于当时舒开并不力图解决这个问
题，因此他仅提出了这个发现，而没加以 深入地研究．
半个世纪后，同样的事实再次被德国
数学家史提非提出．史提非以如下一组数 列为例指出：“等比数列中数的乘、除、乘 方、开方可以转化为等差数列中数的加、 减、乘、除来实现．”
• 如4×8，因为4和8对应的等差数列的数分 别是2和3，而2+3=5，所以4×8的结果是5 所对应的等比数中的数32．又如82，因为8 对应的等差数列中的数是3，3×2=6，所以 82的结果是6所对应的等比数列中的数64．
• （三）、两个重要对数 • ①常用对数： • 以10为底的对数 简记为: lgN • ②自然对数： • 以无理数e=2.71828…为底的对数的对数 • 简记为: lnN . • 注意：两个重要对数的书写 • 1 将下列指数式写成对数式：
• (四)、对数的性质 • 探究活动1 • 求下列各式的值：
能不能使乘（除）直接向加（减）转化呢？ 能！1484年，法国数学家舒开（Chuquet，?— 1500）通过把等差数列与等比数列，如：
0，1，2，3，4，… 等差 1，2，4，8，16，… 等比 或 0，1，2，3，4，… 等差 1，3，9，27，81，… 等比
• 比较发现：等比数列中任何两项的积，可 以用与这两项序号对应的等差数列的和来
• 创设情境，引入新课
• 引例
• 1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。
• （1）取5次，还有多长？
• （2）取多少次，还有0.125尺?
• 分析:(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易 得
• (2)可设取心2000年发表的 《未来20年我国发展的前景分析》，2002 年我国GPD为a亿元，如果每年平均增长 7.3%，那么经过多少年GPD是2002年的2倍？
•
年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写
文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要
派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。
虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。
对数的概念
教案背景
• （对数的起源）介绍对数产生的历史背景 与概念的形成 过程，体会引入对数的必要性；设计意图：激发学生学 习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神．学生是 教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调 动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我 利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从 中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重 难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、 探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点 和提高教学效率。
• 知识目标：1.理解对数的概念,了解对数与指数 的关系；2.掌握对数式与指数式的互化；理
• 解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。
• 能力目标： 1.通过事例使学生认识对数的模型， 体会引入对数的必要性；2.通过师生观察分析 得出对数的概念及对数式与指数式的互化。通 过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性 质。培养学生的类比、分析、归纳，等价转化 能力。
•
布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格
宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，
了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学
家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．
•
布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的
对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）
运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的
•
•
这里，等差数列中的1，对应于等比数列中的
（1.0001）104．就是说，布尔基在造表时，把对数
的底取为（1.0001）104=2.71814593…，与自然对数
的底e=2.718281828…相差不远．但需要的指出是，
无论是布尔基还是后面要讲到的耐普尔，他们都没
有关于对数“底”的观念．因为他们都不是从ax=N的
在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis
descriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里
格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这
两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实
用的对数表必须包括所有要乘的数在内．
• 为了做到这一点，布尔基采取尽可能细密地列出等 比数列的办法．他给出的等比数列相当于： 1，1.0001，(1.0001)2，(1.0001)3，…，（1.0001） 104，… 其相应的等差数列是： 0，0.0001，0.0002，0.0003，…，1，…
• 情感目标：培养学生大胆探索，不断创新的研 究精神；培养学生严谨的思维品质。使学生认 识到数学的科学价值，应用价值和文化价值
• 重点 ：（1）对数的概念；（2）对数式与 指数式的相互转化。
• 难点 ：（1）对数概念的理解；（2）对数 性质的理解
教学方法
• 探索、类比、等价转化、归纳等数学方法
教学过程
• 创新探究，进入新课
• （一）、对数的概念
• 一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N, 就是 =N
那么数 b叫做 a为底 N的对数,记作 ，
，a叫
做对数的底数,N叫做真数。
• 注意：①底数的限制:a>0且a≠1
•
②对数的书写格式
• （二）、对数式与指数式的互化
• 幂底数 ← a → 对数底数 • 指数 ← b → 对数 • 幂 ← N → 真数 • 思考： • ①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？ • ②是否是所有的实数都有对数呢？ • 结论：负数和零没有对数
• 思考：你发现了什么？ • 结论：“1”的对数等于零，即 • 类比：
• （五）、巩固练习
• 1、课本P64 练习
• 2、提高训练
• (1)已知x满足等式
，
• （2）求值：
教学反思
• 本教学设计先由引例出发，创设情境，激 发学生对对数的兴趣；在讲授新课部分， 通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探 究活动，加深学生对对数的认识；最后通 过课堂练习来巩固学生对对数的掌握。在 整个教学中，以学生为主体，以小组讨论 的形式学习本课内容，培养了学生严谨的 数学素养和勇于探索的创新精神
也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力
义域是a>0且a≠1。
•
对数的历史
• 约翰·纳皮尔/约翰·奈皮尔/约翰·内皮尔（John Napier，1550～1617），苏格兰数学家、神学家， 对数的发明者。Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（Merchiston Castle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。
耐普尔借助于质点运动建立起来的对数概念， 其原理仍不外乎等比数列与等差数列关系的合 理运用．
• 对数的由来 英语名词：logarithms
•
如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对
数”。 log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定
• 就这样，史提非轻巧地实现了运算的转化， 并且他意识到：“只要把这个思想进一步发 挥，那么必定能得出关于数的性质的全新 的论述．”遗憾的是史提非后来再也没进行 深入的研究，他放弃了进一步发挥思想的 权利，因而也就失去了对数发明者的资 格．
• 布尔基与耐普尔 数学史册上的对数发明者是两个 人：英国的约翰·耐普尔 （John Naeipr，1550－1617） 和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Jobst Bürgi，1552－ 1632）．
•
16世纪中叶，由于天文和航海而引起的大数计算日
益激增，这种计算不仅花去了人们大量的精力，而且难
以精确，于是，以加（减）代乘（除）的设想再次被提
出，并被作为必须解决的问题加以考虑了．
•
起初，曾采用以下两个公式来实现乘除向加减的转
化：
• 但由于它们都需要通过另一种运算（三角或平 方）来实现转化，并不真正地提高效率，所以 很快就被搁置不用了．
• 结合高一数学组承担的课题《教 师 课 堂 教 学 行 为 的 评 价、反 思 及 有 效 教 学 研 究》通过教师的课堂教学 行为，使学生充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主 动权，提高课堂教学效率。
教学课题
• 《对数的概念》教学设计
教材分析
• 《课程标准》指出，通过必要地数学学习，获得必要的基础知 识和基本技能，理解基本的数学概念，数学结论的本质，了解 概念，结论等产生的背景，体会所蕴含的数学思想方法。通过 探究活动，体会数学发现和创造的历程。提高运算，处理数据， 分析、解决问题的能力。
• 1614年，耐普尔发表了他的《关于奇妙的 对数表的说明》一书，书中不仅提出数学
史上的第一张对数表（布尔基的对数表发 表于1620年），而且阐述了这个发明的思 想过程．他说：假定有两个质点P和Q，分 别沿着线段AZ和射线A'Z'以同样的初速运动， 其中Q保持初速不变，而P作减速运动，其 速度与这个点离Z的距离成正比，现在，如 果当P位于某点B时，Q位于B'，那么，A'B' 就是BZ的对数！同样的A'C'是CZ的对数，等 等（图 1）．
• 建立了这个模型以后，耐普尔通过代入具 体的数字得出BZ、CZ、DZ、EZ、FZ…一系列 数值为：