电力生产问题数学模型————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：电力生产问题数学模型摘要本文研究电力生产问题中的最优化电力资源配置，属于求解优化电力配置下的最小成本问题。

由于电力生产有非线性、多变量等特点，所以我们基于在每一时间段非线性局部最优的前提下，建立整体的单目标多变量的非线性最优化模型 。

因此对于研究的课题，我们建立了一个有约束条件的目标函数的最优化模型来求解。

在该模型的基础上我们建立起解决问题所需模型。

解决问题(1)时，我们运用LINGO 工具求解所建立的数学模型，得到每个时段的台数和成本如下表：(详细数据见)时段1 时段2 时段3 时段4 时段5 时段6 时段7 总成本/元型号1 0 2 0 2 0 1 00 1750 750 1750 1000 1300 750 … … … … … … … … 型号40 3 3 3 3 3 3 02166.61800350018001800解决问题(2)时，我们从节约能源和成本的前提出发，让在工作的每一台发电机保留出20%的发电能力，而不是让其发出多于需求电量的20%白白浪费，因此我们将“每个时段的电力需求”这个约束条件由问题（1）中的j ij j D P m ≤≤改为8.0⨯≤≤j ij j D P m 。

得到每个时段的台数和成本如下表：(详细数据见)时段1 时段2 时段3 时段4 时段5 时段6 时段7 总成本/元型号1 0 5 0 8 1 5 00 1400 1400 1400 1400 1400 0 … … … … … … … … 型号43 3 3 3 3 3 3 1866.62466.62466.62400200018001800关键词：非线性 整体最优化 LIGNO 软件时 段型号 时 段型号1.问题重述1.1问题背景能源是推动社会进步和人们日常生活生产的基础，大量能源的消耗已经给我们带来了许多环境问题。

如臭氧破坏、大气污染、物种灭绝等。

随着科技的进步，电是一种清洁能源，也是具有重要的战略资源。

我国作为电力消耗大国，有责任也有义务合理开发利用电力这一宝贵资源。

正因为如此，最优化电力生产、配置问题亟待我们进一步研究。

对于该问题的研究不仅仅能带来巨大的经济效益，而且最一定程度上对保护环境也作出了巨大贡献。

1.2题中已给信息为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。

每日电力需求如下表1。

表1：每日用电需求（兆瓦）时段（0-24）0-6 6-9 9-12 12-14 14-18 18-22 22-24需求12000 32000 25000 36000 25000 30000 18000 每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。

所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。

这些数据均列于表2中。

表2：发电机情况可用数量最小输出功率（MW）最大输出功率（MW）固定成本（元/小时）每兆瓦边际成本（元/小时）启动成本型号1 10 750 1750 2250 2.7 5000型号2 4 1000 1500 1800 2.2 1600型号3 8 1200 2000 3750 1.8 2400型号4 3 1800 3500 4800 3.8 1200 只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。

与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。

1.3需要解决的问题根据题目所给的信息，要求我们通过数学建模来完成以下任务：问题（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？问题（2）如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。

那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？2.模型假设及符号说明2.1模型假设假设1：题目中是给的数据真实可靠，具有普遍性。

假设2：不同型号发电机之间独立运行互不影响。

假设3：电动机的启动与关闭所需时间可以忽略不计。

假设4：从前一天的24时到今天的0时这一分界点视为间断的，机子全部关闭。

2.2符号说明表一：符号说明符号说明n表示第i时间段型号j发电机的台数ijP表示第i时间段型号j发电机的功率ijP表示第i时间段需要的总功率it表示第i时间段的工作时间im表示型号j发电机的最小功率jM表示型号j发电机的最大功率jG固定成本ijQ启动成本ijQ一台j型号发电机的固定成本jB边际成本ijb型号发电机的边际成本jw一天总成本w表示第i时间段型号j发电机的成本iji表示时间段j表示型号x表示j型发动机提供的台数jS表示第i时段启动的j型发动机的台数ij3．问题分析针对问题（1）：在满足约束条件的情况下要求成本最小，总成本=总启动成本+总固定成本+总边际成本,ij ij ij B Q G w ++=。

.其中每种型号的启动成本、固定成本和每兆的边际成本是已知的常数(题目以表格形式呈现)。

本题的变量为：各个时间段的不同型号的发电机台数ij n 以及发电机的实际输出功率ij p 。

要求总启动成本和总固定成本必需知道7个时间段内不同型号发电机台数，而求解总边际成本必需知道各个时间段内不同型号发电机输出功率及台数。

本题约束条件主要有3个：7个时间段的所需的输出功率；不同发电机的台数数量限制；不同发电机的功率有一个范围限制。

我们假设每一个时间段开始以后才可以开启或关闭发电机，与启动发电机不同关闭发电机不需要任何代价。

由此，我们建立一个简单的目标函数最优化模型。

我们在后面将运用LINGO 求解。

针对问题(2):发电机组必须留出20%的发电能力余量情况下，求解成本最小值 即要求每个时段最大输出功率控制在80%就能满足需求，在此基础上求解。

和(1)类似我们可以建立目标函数最优化模型求解4 数据分析将每一时段作为一个局部优化问题进行分析，建立局部非线性规划模型：固 定 成 本ijG启 动 成 本ijQ边 际 成 本ijB总 成 本w目标函数：()[]∑∑==⨯+⨯⨯⨯+⨯=7141-mini jijjijijjijijjSQntbmPnG对于问题一：利用lingo软件(代码见附录一)求出局部最优解，其方案如下：表二：第一问答案数据时段机组型号1 型号2 型号3 型号40-6 数量0 4 3 00-6 输出功率0 1500 2000 06-9 数量 2 4 8 36-9 输出功率1750 1500 2000 2166.69-12 数量0 4 7 39-12 输出功率0 1400 2000 180012-14 数量 2 4 8 312-14 输出功率1750 1500 2000 350014-18 数量0 4 7 314-18 输出功率0 1400 2000 180018-22 数量 1 4 8 318-22 输出功率1750 1500 2000 2083.322-24 数量0 4 3 322-24 输出功率0 1500 2000 2000对于问题二：将利用lingo软件（代码见附录一）求解出如下方案：表三：第二问答案数据时段机组型号1 型号2 型号3 型号40-6 数量0 4 1 30-6 输出功率0 1200 1600 1866.76-9 数量 5 4 8 36-9 输出功率1400 1200 1600 2466.79-12 数量0 4 8 39-12 输出功率0 1200 1600 2466.712-14 数量8 4 8 312-14 输出功率1400 1200 1600 2399.914-18 数量 1 4 8 314-18 输出功率1401200 1600 200018-22 数量 5 4 8 3 18-22 输出功率1400 1200 1600 1800 22-24 数量0 4 5 3 22-24 输出功率0 1150 1600 18005 问题一的求解5.1 模型的建立 5.1.1 目标函数的确定本文研究的是如何分配发电机才可以用最少的成本获得最大的发电量，根据题目要求，我们求解过程如下：发电机每天的工作成本:∑∑===7141i j ijw wij ij ij ij w G Q B =++（1）第i 个时间段j 型发电机的固定成本：ij j ij G G n =⨯（2）第i 个时间段j 型发电机的边际成本：()ij ij j j i ij B P m b t n =-⨯⨯⨯（3）第i 个时间段j 型发电机的启动成本：ij j ij S Q Q ⨯=（4）第i 个时间段j 型发电机需要重新开启的台数：2|-n |)n -(n S 1)j -(i ij 1)j -(i ij ij n +=（5）第i 个时间段的总发电功率：41i ij ijj P P n ==⨯∑5.1.2约束条件的确定（1） 各型号发电机能使用的台数需小于等于所提供的台数，且必定为自然数：1,2...4)(j ;,0=∈≤≤N n x n ij j ij（2）发电机的发电功率需不大于最大发电功率，不小于最小发电功率：4)1,2(j ;， =≤≤ij ij j M P m（3）所有发电机的发电功率总和需不小于各时段的需求功率：,4)1,2,(i ;P =≥i ij P5.1.3建立发电成本最低模型如下：()[]∑∑==⨯+⨯⨯⨯+⨯=7141S -min i j ij j ij i j j ij ij j Q n t b m P n G w；；4,,2,17,,2,1;,;;0;P . ==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤≤≤≥j i N S n M P m x n P t s ij ij j ij j ij ij i ij应用lingo （程序见附录一）进行求解如下表：表四：所需台数和发电功率时段 机组 型号1 型号2 型号3 型号4 0-6 数量 0 4 3 0 0-6 输出功率 0 1500 2000 0 6-9 数量 2 4 8 3 6-9 输出功率 1750 1500 2000 2166.6 9-12 数量 0 4 7 3 9-12 输出功率 0 1400 2000 1800 12-14 数量 2 4 8 3 12-14 输出功率 1750 1500 2000 3500 14-18 数量 0 4 7 3 14-18 输出功率 0 1400 2000 1800 18-22 数量 1 4 8 3 18-22 输出功率 1750 1500 2000 2083.3 22-24 数量 0 4 3 3 22-24输出功率150020002000最后所得结果是最小成本是14392705.2.1 结果分析从已知数据可知各时段的用电需求和成本科的如下两图：表五：各时段的用电需求100002000030000400001234567各时间段用电需求量时间段需求量/兆瓦各时间段用电需求量表六：各成本最大最小值表七：第一问的各型号数量最小边际成本(元/小时)最大边际成本(元/小时)最小启动成本(台/元)最大启动成本(台/元)型号 3 4 4 1量值 1.8 3.8 1200 5000表八：第一问中各型号发电机的功率结合每天各时段电力需求图分析可得，在电力需求量最大的2、4、6时间段，输出功率最大的型号4发电机全部使用，虽然其单位固定成本和边际成本较高，但它的启动成本最低，在需求电量大幅度增加时，使用输出功率最大的型号4发电机可降低发电机的启动成本，从而使得总成本较小。