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锐角三角函数

1. 掌握锐角三角函数的概念,会熟练运用特殊三角函数值; 2. 知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律; 3. 同角三角函数、互余角三角函数之间的关系; 4. 将实际问题转化为数学问题,建立数学模型.
模块一 三角函数基础
一、
锐角三角函数的定义
如图所示,在Rt ABC △中,a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边.
(1)正弦:Rt ABC ∆中,锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦,记作sin A ,即sin a
A c
=
. (2)余弦:Rt ABC ∆中,锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦,记作cos A ,即cos b
A c
=.
(3)正切:Rt ABC ∆中,锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切,记作tan A ,即tan a A b
=. 注意:
① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的,要避免应用时对任意三角形随便套用定义. ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号,是一个整体,不能理解为sin 与A 、
cos 与A 、tan 与A 的乘积.
③ 在直角三角形中,正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值,当这个锐角确定后,这些比值都是固定值. 二、
特殊角三角函数
这些特殊角的三角函
数值一定要牢牢记住!
三、锐角三角函数的取值范围
在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,000a b c a c b c >>><<,,,,,又sin a A c =,cos b A c =,tan a
A b
=,所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>,,.
锐角三角函数
a
四、三角函数关系 1.同角三角函数关系: 22sin cos 1A A +=,sin tan cos A
A A
= 2.互余角三角函数关系:
(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值:()sin cos 90A A =︒-;
(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值:()cos sin 90A A =︒-; (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值:()tan cot 90A A =︒-. 3.锐角三角函数值的变化规律:
(1)A 、B 是锐角,若A >B ,则sin A >sin B ;若A <B ,则sin A <sin B
(2) A 、B 是锐角,若A >B ,则cos A <cos B ;若A <B ,则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角,若A >B ,则tan tan A B >;若A <B ,则tan tan A B <
模块一 三角函数基础
【例1】 如图:在Rt ABC ∆中,810BC AC ==,
.求sin A 和sin B 的值.
【巩固】在ABC △中,1
90tan 3
C A ∠=︒=,,则sin B 的值为( ). A
B .23
C .3
4
D
【巩固】在ABC △中,90C ∠=︒
,cos B a =
则b = . 【例2】 已知:如图,Rt ABC △中,90C ∠=︒.D 是AC 边上一点,DE AB ⊥于E 点,:1:2DE AE =.
求:sin B 、cos B 、tan B
【巩固】如图,A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处,若将ACB △绕着点A 逆时针旋转得到''AC B △,
则'tan B 的值为( ) A .
12 B .13
C .14
D
C
B
A
E
A
B
D
C
【巩固】已知:如图,在直角坐标系xOy 中,射线OM 为第一象限中的一条射线,A 点的坐标为(1,0),
以原点O 为圆心,OA 长为半径画弧,交y 轴于B 点,交OM 于P 点,作CA x ⊥轴交OM 于C 点.设AOM α∠=.
求:P 点和C 点的坐标.(用α的三角函数表示)
αy P
O
C
B
A
【例3】 已知cos1930'︒=09426.
,则sin7030'︒= . 【巩固】在ABC △中90C ∠=︒,若sin A +cos B 2A ∠等于( )
A .30︒
B .45︒
C .60︒
D .75︒
【例4】
如图,两条宽都为1的平直纸条,交叉叠放在一起,他们的交角为α,求他们的重叠部分的面积(即图像的阴影部分的面积)
D
α
C
B
A
【巩固】如图所示,将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状,那么折痕PQ 的长是( )cm .
A 23
B 43
C 5
D .2
2cm
60°
模块二 比较大小
【例5】 已知:如图,90AOB AO OB C D ∠=︒=,,
、是AB 上的两点,AOD AOC ∠>∠. 求证:(1)0sin sin 1AOC AOD <∠<∠<;
(2)0cos cos 1AOD AOC <∠<∠<;
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______; (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______.
【巩固】已知:如图,CA AO ⊥,E F 、是AC 上的两点,AOF AOE ∠>∠.
(1)求证:tan tan AOF AOE ∠>∠;
(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______.
【例6】
已知:4590A ︒<<︒,则下列各式成立的是( )
A .sin cos A A =
B .sin cos A A >
C .sin tan A A >
D .sin cos A A <
【巩固】已知α为锐角,且2
cos 3
α=
,则α的取值范围是 ( ). A .030α︒<<︒ B .3045α︒<<︒ C .4560α︒<<︒ D .6090α︒<<︒
模块三 化简求值
【例7】
(1)计算:2(2)tan 452cos60-+︒-︒
(2
)计算:101
()2010tan603
--+--︒
【巩固】(1
)计算:11
()12sin 60tan 602
--︒⋅︒
O
D
C
B
A
C E F
A
O
(204sin 45(3)4π︒+-+-
【例8】
化简计算
(1)22(2sin cos )(2cos sin )αααα++-;
(2)2222sin 1sin 2....sin 88sin 89︒+︒++︒+︒;
(其中090α︒<<︒)
【巩固】已知α为锐角,sin cos αα-=sin cos αα+=____________;
【例9】 先化简再求值:22121
(1)24
x x x x ++-÷
+-,其中tan601x =︒-.
模块四 三角函数与代数综合
【例10】 求适合下列条件的锐角α:sin 22
α=;
【巩固】求适合下列条件的锐角α
:2cos(10)α+︒=
【例11】 已知α为锐角,且22sin 5cos 10αα-+=,求α的度数.
【巩固】若α为锐角,且22cos 7sin 50αα+-=,求α的度数.
模块五 三角函数与几何综合
【例12】 如图,点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点,BCE △沿BE 折叠为BFE △,点F 落在AD 上.
(1)求证:ABE DFE △∽△
(2)若1
sin 3
DFE ∠=,求tan EBC ∠的值.
【例13】 如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,若2EF =,5BC =,3CD =,则tan C
等于( ).
A .34
B .4
3 C .35 D . 45
【例14】 如图,在等边ABC △中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,
且60ADE ∠=︒, 4
4,3
BD CE ==,则ABC △的面积为 ( ). A
. B .15 C
. D

E
F
D C
B
A
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
【巩固】如图,ABC △
中,3
cos 5
B C =,5AC =,则ABC △的面积是( )
A .
21
2
B .12
C .14
D .21
【例15】 已知:如图,O 的半径16,OA cm OC AB =⊥于C
点,tan AOC ∠=
. 求:AB 及OC 的长.
【例16】 用几何方法求sin15︒、cos15︒、tan15︒的值.
A
B
C。

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