sin xy 例. 设 ( x ) x y d y , 求 ( x ). 2 3 x2 ( x ) cos x y d y sin x 2 x sin x 1 解: x x x2 x2 2 sin x 3 sin x 2 sin x y x x x
f ( x, y) d y
dx 例1 求 lim 0 1 x2 2 dx 解 记 I ( ) 1 1 x 2 2 1 因为 , 1 , 都是 , x 的连续函数 2 2 1 x
1
所以 I ( ) 在 0 连续，从而
c
d
c c( x ),
d d ( x)
由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有 d H dx H dc H dd F ( x) dx x dx c dx d dx

d( x) c( x )
f x ( x , y ) d y f ( x , c( x )) c( x ) f ( x , d ( x )) d ( x )
f ( x x, y ) f ( x, y ) f x ( x x, y )x
所以
d f ( x x , y ) f ( x , y ) I ( x x ) I ( x ) dy c x x d f x ( x x , y ) d y
1
1 1 t2
x t t 0 1 x 2 1 x 2 1 t x d x
1
1 1 1 2 [ ln( 1 x ) t arctan x ln( 1 t x ) 0 2 1 t 2 1 1 ln 2 t ln( 1 t ) 2 4 1 t 2 1 故 I I (1) I (0) I ( t ) d t 0 1 1 1 ln 2 t ln( 1 t ) d t 2 0 1 t 2 4 1 1 1 ln( 1 t ) 1 2 ln 2 arctan t ln( 1 t ) dt 2 0 2 8 1 t 0 0
x2
x
3 sin x 2 sin x x
3
2
例.
设 f ( x ) 在 x 0 的某邻域内连续,
验证当 | x | 充分小时, 函数 x 1 ( x) ( x t ) n 1 f ( t ) d t ( n 1) ! 0 ( n) ( x ) f ( x ) . 的 n 阶导数存在, 且 证: 令 F ( x, t ) ( x t )n1 f (t ) , 显然, F ( x , t ) 及 Fx ( x, t )
d

d
c
[ f ( x x , y ) f ( x , y )] d y
所以， 0, 0 , 当 x 时 , 就有
I ( x x ) I ( x ) c | f ( x x , y ) f ( x , y ) | d y
这说明 I ( x ) 在[a , b] 上连续.
c
在[a, b]上连续可微, 且 d d d I ( x ) c f ( x, y ) d y c x f ( x, y ) d y dx
分析: 要证： lim I ( x x ) I ( x ) d f ( x , y ) d y c x x 0 x 即 0, 0, 使得当 | x | 时，有
| f x ( x x , y ) f x ( x , y ) | d y
c c d
| f x ( x x, y ) f x ( x, y ) |
因此 | I ( x x ) I ( x ) d f ( x , y ) d y | c x x d | f x ( x x , y ) f x ( x , y ) | d y
d( x)
c( x )
f ( x , y ) d y , x [a , b ]
y
y d ( x)
下面讨论含参量积分的连续性、 可微性和可积性.
O
G
y c( x )
x
连续性定理
定理19.1 (连续性) (积分号下取极限) 若 f ( x , y ) 在矩形区域 R [a , b] [c, d ] 上连续, 则函数
c
d
⑴
x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分.
一般地，设 f (x, y ) 为区域 G {( x , y ) | c( x ) y d ( x ), a x b}
上的二元函数, c ( x ), d ( x ) 在 [ a, b ] 连续，定义 含参量的积分
F ( x)
在[ a, b ]上连续.
证
对积分用换元积分法，令 y c( x ) t (d ( x ) c( x )), dy (d ( x ) c( x ))dt 于是
d( x)
从而 F ( x )
1 0
f ( x , c( x ) t (d ( x ) c( x ))) (d ( x ) c( x )) d t
x x0
lim

c
d
c d
f ( x , y ) d y lim I ( x ) I ( x0 )
x x0
d
f ( x0 , y ) d y

c x x0
lim f ( x , y ) d y
即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序
是可交换的，或说可在积分号下取极限 .
同理可证, 若 f ( x, y ) 在矩形域 R [a, b] [c, d ]上连 续, 则含参变量的积分
J ( y) f ( x, y) d x
a b
也在[c, d ]上连续.
定理19.1 表明, 若 f ( x , y ) 在矩形区域 R [a , b] [c, d ] 上连续, 则 d I ( x ) f ( x , y ) d y , x [a , b ] c 在[a, b]上连续. 于是对任意 x0 [a , b] , 有
dx 1 arctan x |0 lim I ( ) I (0) 0 1 x2 0 4
1
可微性定理
定理19.3 (可微性) （积分号下求导数)
若 f ( x , y ) 及其偏导数 f ( x , y ) 都在 x d 矩形域 R [a, b] [c, d ]上连续, 则 I ( x ) f ( x , y ) d y
c( x )
f ( x, y) d y
因为 f ( x , c( x ) t (d ( x ) c( x ))) (d ( x ) c( x )) 在矩形 [ a, b ]×[ 0, 1 ] 上连续，由定理 19.1得
F ( x)
在 [ a, b ] 上连续
d( x)
c( x )
ln( 1 x ) 例2. 求 I d x. 2 0 1 x 解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数 1 ln( 1 tx ) I (t ) d x. 2 0 1 x 显然, I (0) 0, I (1) I , ln( 1 t2x ) 及其对 t 1 x x 的偏导数 在 [0, 1] [0, 1] 上连续, 2 (1 x )(1 t x ) 1 x dx 于是由定理19.3 I ( t ) 2 0 (1 x )(1 t x ) 1 1 x t t d x 2 0 2 2 1 t 1 x 1 x 1 t x
在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理19.4 可得 x 1 ( x ) ( n 1)( x t ) n 2 f ( t ) d t ( n 1) ! 0 1 ( x x ) n1 f ( x ) ( n 1) ! x 1 ( x t )n 2 f ( t ) d t ( n 2 ) ! 0
c
因此 | I ( x x ) I ( x ) d f ( x , y ) d y | c x x d | [ f x ( x x , y ) f x ( x , y )] d y |
由 f x ( x , y ) 在 [a , b] [c, d ] 上连续, 从而一致连续，即 0, 0, 只要 | x | ，有
c
d y (d c )
c
d
故 I ( x ) 在ຫໍສະໝຸດ x 可导，且由 x 的任意性，及定理 19.1知I ( x ) 在 [a, b] 有连续的导函数. 也说可在积分号下求导数
I ( x ) f x ( x , y ) d y
c
d
在定理的条件下,求导和求积分可交换次序,
证
设 x, x+Δx ∈ [a, b],
I ( x x ) I ( x )
由于 f ( x , y ) 在闭区域 R 上连续, 所以一致连续, 即 0, 0 , ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) R, 只要 x1 x2 , y1 y2 就有 f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 )
• 连续性定理 • 可微性定理 • 可积性定理 • 例题
设 f ( x, y) 是矩形域 R [a, b] [c, d ] 上的连续函数,
则积分 f ( x , y ) d y 确定了一个定义在[a, b]上的函数,
c d
记作
I ( x ) f ( x , y ) d y , x [a , b ]


4
ln 2 I
因此得 I

8
ln 2
定理19.4（可微性） 如果函数 f ( x , y ), f x ( x , y ) 在矩形 R [a, b] [ p, q] 上连续， c( x ), d ( x )为定义在[a , b]上其值含于[ p, q] 内的可微函数, 则函数 d( x) F ( x) f ( x, y) d y