《应用举例（2）》基础训练知识点1方位角问题1.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为( )A.60海里B.45海里C.203海里D.303海里2.[2017广西百色中考]如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )A.20(3＋1)米/秒B.20(3－1)米/秒C.200米/秒D.300米/秒3.[2018安徽淮安中考]如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.知识点2坡度、坡角问题4.[2018浙江宁波中考]如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至已知B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了____米.(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)5.如图，斜坡AB的坡度为1：2，AC=35米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB=10米，则旗杆BC的高度为( )A.5米B.6米C.8米D.(3＋5)米6.[2017湖北仙桃中考]为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固.如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=123米，∠B=60°.加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=3313，则CE的长为____米.7.如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角∠FDC为30°，若兰兰的眼睛与地面的距离DG是1.5米，BG=1米，BG 平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡高8米，求小船C到岸边的距离C A.(参考数据：3≈1.73，结果保留一位小数)参考答案1.D 【解析】由题意，知∠APB =90°，∠A =60°，PA =30海里，∴PB =PA ·tanA =30×tan 60°=303(海里).故选D.2.A 【解析】如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D.在Rt △ABD 中，因为∠ABD =60°，BD =200米，所以AD =BDtan ∠ABD =200米，在Rt △CDB 中，BD =200米，∠CBD =45°，所以CD =BD =200米，则AC =AD ＋CD =(200＋2003)米，则平均速度是200200310=(203＋1)米/秒.故选A.3.【解析】如图，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，此时MN 最短.由题意知∠EAC =60°，∠EAM =30°，∴∠CAM =30°，易知∠FCM =60°，∴∠MCB =30°，∵∠EAC =60°，∴∠CAD =30°，∴∠BCA =30°，∴∠MCA =∠MCB ＋∠BCA =60°，∴∠AMC =90°.在Rt △AMC 中，∠AMC =90°，∠MAC =30°，∴MC =12AC =1000米. 在Rt △CMN 中，∠MCN =60°，∴∠CMN =30°，∴NC =12MC =500米.∴AN =AC －NC =2000－500=1500(米). 因此，AN 的长为1500米.名师点睛：解决实际问题的关键在于明确题意，善于把实际问题转化为数学问题，要抓住问题的实质，不要被表面现象所迷惑.对于本题，正确作出高，证明△AMC 是直角三角形是解题的关欲4.280【解析】在Rt △ABC 中，AC =ABsin 34°=500×0.56≈280(米)，所以这名滑雪运动员的高度下降了280米.5.A 【解析】因为斜坡AC 的坡度为1：2，所以可设CD =x 米，AD =2x 米，在Rt △ACD 中，由勾股定理得x 2＋(2x )252，所以x =3，所以CD =3米，AD =6米.在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD 22AB AD －米，所以BC =BD －CD =8－3=5(米).故选A.6.8【解析】如图，分别过点A ，D 作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，垂足分别为F ，G . 在Rt △ABF 中，AB =12米，∠B =60°，sinB =AFAB，所以AF =63米，所以DG =63米，在Rt △DGC 中，因为CD =123米，DG =63米，所以GC =22CD DG － =18米. 在Rt △DEG 中，因为tanE =3313，所以6333GE 13 ，所以GE =26米，所以CE =GE －CG =26－18=8(米)，即CE 的长为8米.7.【解析】如图，过点B 作BE ⊥CA 交CA 的延长线于点E ，延长DG 交CA 的延长线于点H ，得Rt △ABE 和矩形BEHG . ∵i =BE AE =43，BE =8米，∴AE =6米. ∵DG =1.5米，BG =l 米，∴DH =DG ＋GH =1.5＋8=9.5(米)，AH =AE ＋EH =6＋l =7(米). 在Rt △CDH 中，∵∠C =∠FDC =30°，DH =9.5米，tanC =DHCH，∴CH =1932米.又CH =CA ＋7，即1932=CA ＋7，∴CA ≈9.4米. 因此，小船C 到岸边的距离CA 约是9.4米.《应用举例（2）》提升训练1.[2017山东济南中考]如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为( )A. 34B.3C.35D.42.[2018河北石家庄二十七中课时作业]某数学兴趣小组同学进行测量大树CD(垂直于水平面AE)高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，再沿水平方向行走6米至大树底端点D 处，斜坡AB的坡度(或坡比)i=1：2：4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米3.[2018山西运城垣曲期末]小明坐在堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为33 2米，钓竿0A的倾斜角是60°，其长为3米.若0A与钓鱼线0B的夹角为60°，则浮漂B与河堤下端C之间的距离是____米.4.[2018四川成都石室中学课时作业]如图，在—条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km 的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N20km.一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km.(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线l?(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由.(2≈1.4，35.[2017贵州黔东南州中考]如图，某校教学楼后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角a为60°.根据有关部门的规定，∠a≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)6.[2018江西南昌铁一中课时作业]一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向.(1)求灯塔P到轮船航线的距离PD；(结果保留根号)(2)当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里.(结果精确到1海里，参考数据3≈1.7)参考答案1.B 【解析】如图，过点C 作CM ⊥AB ，交AB 的延长线于点M ，在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE =22AD DE － =2210.6－=0.8.易知△ADE ∽△ACM ，所以AD AE DEAC AM CM==，即10.80.65AM CM==，解得AM =4，CM =3，所以BM =AM －AB =4－3=1，所以石坝的坡度为CMBM=3.故选B.2.A 【解析】如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F .设BF =x 米，易知四边形BDEF 是矩形，则DE =BF =x 米，DE =BF =x 米.∵斜坡AB 的坡度i =l ：2.4，∴BF ：AF =l ：2.4，则AF =2.4x 米.在Rt △ABF 中，AB =13米，BF 2＋AF 2=AB 2，∴x 2＋(2.4x )2=132，∴x =5，∴DE =BF =5米，AF =12米，∴AE =AF ＋EF =18米. 在Rt △ACE 中，tan ∠CAE =CEAE，∴CE =AE ·tan ∠CAE =18×tan 36°≈13.14(米)，∴CD =CE －DE ≈8.1米.故选A.归纳总结：此类题考查解直角三角形的应用，首先要明确仰角及坡度的意义，并能寻找直角三角形或添加辅助线构造直角三角形，把已知条件和待求线段放在直角三角形中，利用直角三角形的边角关系求解，找准对应关系是关键.此外，在求解过程中常通过设未知数，建立方程求解.3.1.5【解析】如图，延长0A 交BC 的延长线于点D ，则∠CAD =180°－∠ACD =90°. 在Rt △ACD 中，AD =A C.tan ∠ACD 3AC =1.5米，CD =2AD =3米. ∵∠DOB =∠ODB =60°，∴∠B 0D 是等边三角形，所以BD =OD =0A ＋AD =4.5米，所以BC =BD －CD =4.5－3=1.5(米).即浮漂B 与河堤下端C 之间的距离是1.5米.4.【解析】(1)如图，延长AB 交直线l 于点F .由题意知∠CBE =60°，∠DAC =30°，∴∠BCE =30°，∠DCA =60°，∴∠ACB =90°. 在Rt △ABC 中，BC =12km ，AB =36×4060=24(km )，∴∠BAC =30°，AC =222412－=123(km ). 在Rt △ACD 中，AD =AC ×cos 30°=123×32=18(km ). 在Rt △ADF 中，∵∠DAF =60°，∴∠F =30°，AF =2AD =36km ，36÷36=l (h )， ∴轮船在11：00到达海岸线l .(2)该轮船能停靠在码头.理由如下： 在Rt △ADF 中，DF =AF ×sin 60°=36×33km ). 在Rt △ADC 中，DC =12AC 3km ，∴CF 3km . ∵CN =20km ，CM =2l .5km ，3≈20.4，20＜20.4＜21.5. ∴该轮船能停靠在码头.5.【解析】如图，假设点D 移到D '的位置时，恰好∠a =39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点D '作D 'E '⊥AC 于点E '，∵CD =12米，∠DCE =60°，∴DE =CD ·sin 60°=12×323(米)，CE =CD ·cos 60°=12×12=6(米).∵DE ⊥AC ，D 'E '⊥AC ，DD '∥CE ’， ∴四边形DEE 'D '是矩形，D 'E '=DE 3. ∵∠D 'CE '=39°，∴CE '=ta D'E 'n 39 63≈l 3(米)，∴EE '=CE '－CE ≈7米.因此，学校至少要把坡顶D 向后水平移动约7米才能保证教学楼的安全.6【解析】(1)过点B作BC⊥AP于点C.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴BC=12AB=20海里，AC=AB·cos30°3里.∵∠PBD=90°－15°=75°，∠ABC=90°－30°=60°，∴∠CBP=180°－75°－60°=45°，∴PC=BC=20海里，∴AP=PC＋AC=(20＋3)海里.∵PD⊥AD，∠PAD=30°，∴PD=12AP=(10＋3海里.因此，灯塔P到轮船航线的距离PD是(10＋3海里.(2)设轮船每小时航行x海里，在Rt△ADP中，AD=AP·cos30°=32× (20＋3＋3)(海里)，∴BD=AD－AB=30＋3310)(海里)，由题意，得10310x-＋1560=3102x，解得x=60－3x=60－3x=60－3因此，轮船每小时约航行26海里. 。