不等关系与不等式导学案命制学校：沙市五中命制教师：王旭俐学习目标：1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．学习重点：比较两实数大小．学习难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号学法指导：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系知识：在日常生活中，我们经常看到下列标志：问题1：你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；②限制质量：装载总质量G不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5米；④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；⑤时间围：t∈．问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.自主学习：不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。

2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不多于，不超过符号语言＞＜≥≤实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a<b；若a－b是零，则a＝b.问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．比较两个实数a、b大小的依据文字语言符号表示如果a＞b，那么a－b是正数；如果a＜b，那么a－b是负数；如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然a>b⇔a－b>0 a<b⇔a－b<0 a＝b⇔a－b＝01．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.不等式的基本性质问题1：若a>b，b>c，则a>c，对吗？为什么？提示：正确．∵a>b，b>c，∴a－b>0，b－c>0.∴(a－b)＋(b－c)>0.即a－c>0.∴a>c.问题2：若a＞b，则a＋c＞b＋c，对吗？为什么？提示：正确．∵a＞b，∴a－b＞0，∴a＋c－b－c＞0即a＋c＞b＋c.问题3：若a ＞b ，则ac ＞bc ，对吗？试举例说明．提示：不一定正确，若a ＝2，b ＝1，c ＝2正确．c ＝－2时不正确．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c . 推论(同向可加性)：⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎪⎬⎪⎫a >b c <0⇒ac <bc ；推论(同向同正可乘性)：⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ；(5)正数乘方性：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)．1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性． 合作探究：某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ∈N ，y ∈N .用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速80 km/h 的路标； (2)桥头上限重10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%，蛋白质的含量p 不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h ， 则v ≤80.(2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.(3)⎩⎪⎨⎪⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%.比较两数(式)的大小(1)x 2＋3与2x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． (1)(x 2＋3)－2x ＝x 2－2x ＋3 ＝()x －12＋2≥2＞0，∴x 2＋3＞2x .(2)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝a 2(a －b )－b 2(a －b )＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，且a ≠b ， ∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0. ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0， 即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．2．比较x 3＋6x 与x 2＋6的大小． 解：(x 3＋6x )－(x 2＋6) ＝x 3－x 2＋6x －6 ＝x 2(x －1)＋6(x －1) ＝(x －1)(x 2＋6) ∵x 2＋6＞0.∴当x ＞1时，(x －1)(x 2＋6)＞0， 即x 3＋6x ＞x 2＋6.当x ＝1时，(x －1)(x 2＋6)＝0， 即x 3＋6x ＝x 2＋6.当x ＜1时，(x －1)(x 2＋6)＜0， 即x 3＋6x ＜x 2＋6.不等式的性质已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：a －c ＞b －d.∵c ＜d ＜0， ∴－c ＞－d ＞0， 又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0， 即a －c ＞b －d ＞0， ∴0＜1a －c ＜1b －d， 又∵e ＜0， ∴ea －c ＞eb －d.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.3．已知a ＞b ，m ＞n ，p ＞0，求证：n －ap ＜m －bp . 证明：∵a ＞b ，又p ＞0，∴ap ＞bp . ∴－ap ＜－bp ， 又m ＞n ，即n ＜m . ∴n －ap ＜m －bp .4.探究利用不等式性质求取值范围已知1＜a ＜4,2＜b ＜8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值围． ∵1＜a ＜4,2＜b ＜8， ∴2＜2a ＜8,6＜3b ＜24 ∴8＜2a ＋3b ＜32. ∵2＜b ＜8， ∴－8＜－b ＜－2. 又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b )＜4＋(－2)， 即－7＜a －b ＜2.故2a ＋3b 的取值围是(8,32)，a －b 的取值围是(－7,2)． 【探究一】利用几个不等式的围来确定某个不等式的围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值围．【探究二】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求围，注意变形的等价性．在本例条件下，求ab的取值围．∵2＜b ＜8，∴18＜1b ＜12，而1＜a ＜4，∴1×18＜a ·1b ＜4×12，即18＜ab＜2.故a b 的取值围是(18，2)．不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．例：已知－6＜a ＜8,2＜b ＜3，求ab的取值围． 解：因－6＜a ＜8,2＜b ＜3. ∴13＜1b ＜12， (1)当0≤a ＜8时，0≤a b＜4； (2)当－6＜a ＜0时，－3＜a b＜0. 由(1)(2)得：－3＜a b＜4.利用不等式性质求围，应注意减少不等式使用次数． 已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值围．设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b ，解得λ1＝53，λ2＝－23. 又－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23，所以－113≤a ＋3b ≤1.(注：本题可以利用本章第三节容求解)1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( )A ．5x ＋4y ＜200B ．5x ＋4y ≥200C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200解析：选D 据题意知，500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200，故选D. 2．若x ≠－2且y ≠1，则M ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的值与－5的大小关系是( ) A ．M ＞－5 B ．M ＜－5 C ．M ≥－5D ．M ≤－5解析：选A M －(－5)＝x 2＋y 2＋4x －2y ＋5 ＝(x ＋2)2＋(y －1)2， ∵x ≠－2，y ≠1，∴(x ＋2)2＞0，(y －1)2＞0，因此(x ＋2)2＋(y －1)2＞0.故M ＞－5.3．如果a ＞b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －(c －2b )＝2b －2a ＝2(b －a )＜0. 答案：c －2b4．若－10＜a ＜b ＜8，则|a |＋b 的取值围是________． 解析：∵－10＜a ＜8， ∴0≤|a |＜10， 又－10＜b ＜8， ∴－10＜|a |＋b ＜18. 答案：(－10,18)5．(1)已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小； (2)若－1＜a ＜b ＜0，试比较1a ，1b，a 2，b 2的大小．解：(1)3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(3x 2＋1)．∵x ≤1，∴x －1≤0. 又3x 2＋1＞0， ∴(x －1)(3x 2＋1)≤0， ∴3x 3≤3x 2－x ＋1. (2)∵－1＜a ＜b ＜0， ∴－a ＞－b ＞0， ∴a 2＞b 2＞0. ∵a ＜b ＜0， ∴a ·1ab ＜b ·1ab＜0，即0＞1a ＞1b，∴a 2＞b 2＞1a ＞1b.一、选择题1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜ND ．与x 有关解析：选A M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0.∴M ＞N .2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y ≥380z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95y >380z >45D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45解析：选D 由题中x 不低于95即x ≥95，y 高于380即y >380， z 超过45即z >45.3．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0， 又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.4．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2α－β3的围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，56π C.()0，πD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π.5．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.二、填空题6．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4. 解析：a 2＋b 2＋c 2－＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0， 故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4. 答案：＞7．已知|a |＜1，则11＋a 与1－a 的大小关系为________．解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1. ∴1＋a ＞0,1－a ＞0. 即11＋a 1－a ＝11－a 2 ∵0＜1－a 2≤1， ∴11－a 2≥1， ∴11＋a≥1－a . 答案：11＋a≥1－a 8．某公司有20名技术人员，计划开发A 、B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A 类 12 7.5B 类136今制定计划欲使总产值最高，则A 类产品应生产________件，最高产值为________万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x 3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330. 所以应开发A 类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．答案：20 330三、解答题9．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h ；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋需用4 h ；生产每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t ．试根据这些数据预测明年的产量．解：设明年的产量为x 袋，则⎩⎪⎨⎪⎧4x≤200×2 100x ≥80 0000.02x ≤600＋1 200， 解得80 000≤x ≤90 000.预计明年的产量在80 000到90 000袋之间．10．(1)a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b ，求证：ab ＞0.证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab＝b ＋a b －aab ，∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0，∴b ＋a b －aab ＜0，故b a ＜ab .(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b ＜0，即b －aab ＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.。