(2) D(CX ) C2D(X )
D(CX ) E(CX )2 [E(CX )]2 C 2E(X 2 ) C2[E(X )]2 C 2{E( X 2 ) [E( X )]2} C 2D( X )
(3) 若X与Y相互独立,则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
D(X Y ) E(X Y )2 [E(X Y )]2
注：方差的计算公式：
D(X ) E(X 2 ) [E(X )]2
D(X ) E[X E(X )]2 E{X 2 2XE(X ) [E(X )]2} E(X 2 ) 2E(X ) E(X ) [E(X )]2 E(X 2 ) [E(X )]2
2.方差的性质
(1) 若C为常数,则 D(C) 0
下列几个式子中哪个或者那几个是正确的:
E ( X Y ) EX EY D( X Y ) DX DY E ( XY ) EX • EY D( XY ) DX • DY D( X Y ) DX DY
下若列X几,Y个相互式独子立中，哪下个列或不者正确那的几是个：是正确的:
a) E ( X Y ) EX EY b) D( X Y ) DX DY c) E ( X • Y ) EX • EY d ) D( X • Y ) DX • DY e) D( X Y ) DX DY
所以，协方差由下式计算
Cov( X ,Y ) E(XY ) E(X )E(Y )
若两个随机变量相互独立,则它们的协方差等于0
2.协方差的性质
Cov( X ,Y )
(1) 对称性 Cov(X ,Y ) Cov(Y, X ) E(XY ) E(X )E(Y)
(2) 若 a, b 为常数,则 Cov(aX ,bY ) abCov( X ,Y )
(3) Cov(X1 X2,Y ) Cov(X1,Y ) Cov(X 2,Y ) (4) Cov(X , X )＝ D( X )
并且
n
n
D( X k ) D(X k )
k 1
k 1
n
n
D( ak X k ) ak2D( X k ) 其中 ak (k 1, ,n) 为常数
k 1
k 1
于是，若X 与Y 独立，则
D(X Y ) D(X ) D(Y ) D(2X 3Y ) 4D( X ) 9D(Y )
注意：以下两个式子是等价的,即 E(XY) E(X )E(Y) D(X Y) D(X ) D(Y)
Cov(X ,Y ) E{[ X E(X )][Y E(Y )]}
注： Cov( X ,Y ) E[(X E(X ))(Y E(Y ))]
E[XY XE(Y) YE(X ) E(X )E(Y)] E(XY) E(X )E(Y) E(Y)E(X ) E(X )E(Y) E(XY ) E(X )E(Y )
例1（几个重要分布的方差）
1）设X服从参数为p的0-1分布 E(X)=p E(X 2 ) p
D(X ) E(X 2) [E(X )]2 p p2 p(1 p)
E(X ) p D( X ) p(1 p)
2）若 X ~ B(n, p),
设 X1, , X n 相互独立且均服从参数为 p 的
a) X Y ~ N (1, 4)；b) E( X Y ) 1 c) D( X Y ) 4；d ) 以上答案都正确
§3 协方差与相关系数
一、协方差(Covariance)
由前面的讨论知,若 X与 Y相互独立,则有
E(XY) E(X )E(Y ) 0
若上式不成立,则X与Y 必不相互独立,也就是 说, 如果上式的左端不等于零时,两个随机变量之 间就存在着某种关系!
0-1分布,则由前面的讨论知
n
X X k ~ B(n, p) k 1
E( X ) np D( X ) np(1 p)
3） 若X ~ P() ,则E( X ) , 又
E(X 2) 2 D(X ) E(X 2 ) [E(X )]2 2 2
E(X ) D(X )
4) 设 X ~ U[a, b],
[E(X
)]2
1
2
E(X
)
1
D( X
)
1
2
6）X ~ N(, 2),
E(X )
D(
X
)
2
例 2：设随机变量 , 分别在区间[0,1]和[2,4]
上 服 从 均 匀 分 布 ， 而 且 , 相 互 独 立 ， 求 E( ), D( )
例3 设随机变量X服从参数为的指数分布，求
P(X EX ), P(X DX )
E( X ) a b E(X 2 ) 1 (a2 ab b2 )
2
3
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 (b a)2 12
E(X
D( X )
) ab 2
(b a)
2
12
5) 若X服从参数为 的指数分布,则
E(X ) 1
2
E(X 2) 2
D( X
)
E(X
2)
因此量 E( XY )－E( X ) E( Y )在某种程度上 刻划了两个随机变量之间的关系.
我们将其称之为协方差.具体定义如下：
1.Def1 设(X ,Y ) 是二维随机变量，若
E{|[X E(X )][Y E(Y)]|}
则 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 称为X与Y的协方差,并记作 Cov(X,Y),即有
例4
设X1
,
X
2
,
Xห้องสมุดไป่ตู้
相互独立
3
Y
X1 2X2
3X3
X1 ~ U[0,6], X 2 ~ N(0,22 ), X3 ~ (3),求DY
例5
设X
和Y
相互独立，X～N(1
,
12
),Y～N(2
,
2 2
)
求X+Y,X-Y的分布
例6 设X * X EX 求EX *, DX *
DX
若 X~N(0,1),Y~N(1,3) 则
{E(X 2) 2E(XY ) E(Y 2)} {[E(X )]2 2E(X )E(Y ) [E(Y )]2}
D(X ) D(Y ) 2{E(XY) E(X )E(Y )} D(X ) D(Y )
(因为X ,Y 相互独立,所以E(XY) E(X )E(Y ) 0)
一般的，若 X1, X 2 , , X 相n 互独立，则有