习题55.1 已知2,2,2,x y z v y z v z x v x y =+=+=+求：(1)涡量及涡线方程；（2）在z=0平面的面积dS=0.0001上的涡通量。

解：（1）()()()(21)(21)(21)y y x x z z i j ky z z x x y i j k i j k∂∂∂∂∂∂Ω=-+-+-∂∂∂∂∂∂=-+-+-=++νννννν 所以 流线方程为 y=x+c1,z=y+c2(2) 2J 2*0.5*0.00010.0001/wnds m s ===⎰5.4设在（1，0）点上有0Γ=Γ的旋涡，在（-1，0）点上有0Γ=-Γ的旋涡，求下列路线的速度环流。

2222(1)4;(2)(1)1;(3)2,20.5,0.5x y x y x y x y +=-+==±=±=±=±的方框。

（4）的方框。

解：（1）由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0，所以c20svdl wnds ==⎰⎰Ñ（4）由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0，所以c0vdl -=⎰Ñ5.6如题图5.6所示，初始在（0，1）、（-1，0）、（0，1）和（0，-1）四点上有环量Γ等于常值的点涡，求其运动轨迹。

解：取其中一点（-1，0）作为研究对象。

42222cos 45cos 4534CA BA BA A CA BA BA v v v v v v v τπππτπ====++=由于四个涡相对位置将不会改变，转动角速度为：3434v w ar v wt tτπτπ====用极坐标表示为r=1, 34t τθπ=同理，其他点的轨迹与之相同。

5.10如题图5.10所示有一形涡，强度为，两平行线段延伸至无穷远，求x 轴上各点的诱导速度。

解：令（0，a ）点为A 点，（0.-a ）为B 点 在OA 段与OB 段1222222212(cos90)4(cos 0)42()()2x v x a xv xa a x v v v x a x xaτπτπτπ=++=++∴=+=++习题六6.1平面不可压缩流动的速度场为 （1）,;x y v y v x ==- (2) ,;x y v x y v x y =-=+ (3) 22,2;x y v x y v xy y =-=--判断以上流场是否满足速度势和流函数存在条件，进而求出。

解：V 0(v )v y x x yφϕ∇⨯=∂-∂=∂∂存在存在（1）φ存在v (v )2y x x xyφ∂∂-=-∴∂∂ (v )v 0......0y xv x yφ∂-∂==∴∂∂ 22v v 2y x x y dx dy ϕ+=-+=⎰+c（2）v (v )2(v )v ()1....1yx yx x y x y x y yφϕ∂∂-=∴∃∂∂∂-∂∂--===-∴∃∂∂∂（3）v (v )0y x xyφ∂∂-=∴∃∂∂ 3222v v x y dx dy x φ=+=⎰/3+x /2-xy -y /2+c（4）(v )v 2 1....21y xx x x y∂-∂=+=+∂∂ ϕ∴∃ 32-v v y x dx dy y x ϕ=+=-⎰/3+x y +y +c6.2证明函数f=xyzt 是速度势函数，而且流场不随时间变化。

证：f=xyzt21)02)()0dx dy dz dx dy dz f yzt xzt yxt yz xz yxφφ∇=∇∇=∴==⇒==∴是速度势函数流线方程流场不随时间变化6.3有一种二维不可压缩无旋流动，已知v x kxy =，k 为常数，求v y 。

解：2222v (v )0v v (v )v 0v v v ()y x y y y x y y y xykx kx cyxx yky ky cxyk x y c∂∂∴-=∂∂∂∴=∴=+∂∂∂∴+=∂∂∂∴=-∴=+∂∴=-+Q Q 无旋不可压 6.4已知速度势，求复势和流函数： （1）22xUx x y Φ=++； （2）22yUx x y Φ=++；（3）2222()ln ()x a y x a y -+Φ=++；解：22222222222222221)1/()()2)?i /()()()3)ln ln Re ()m m w i xUx x yw Uz z z yi y i U iy I Uyi Uy z z x y x y yUx x yw Uz ziz xi xi U iy I Uyi Uy z z x y x y x a y x a y ϕφϕϕϕϕϕ∃=+Φ=++∴=+-=+=+⇒=-++Φ=++∴=+=+=+⇒=+++-+Φ==++g g 按题意，应有为均匀流动，叠加一偶极子为均匀流动，叠加一偶极子旋转902222()ln Re()2lnln ()ln ()lnm m z a z a z aw z ax aI z a I z a x aϕ--+-∴=+-=--+=+6.5分析如下流动是由那些基本流动组成： 解：（1）匀直流 点涡 偶极子（2） 点源 点汇 两点涡 （3）两源一汇6.6幂函数W ,n ,nAz A πππππ=式中为实常数，=/a,/2,0<a</2/2<a<时，试分析该函数所代表的平面无旋运动。

解：匀直流 流动方向改表 6.8设复势为22W(z)=(1+i)ln(z 1)(23)ln(4)1/i z z ++-++ 求（1）沿圆周22x y +=9的速度环量Γ；（2）通过该园的体积流量 解：22W(z)=(1+i)ln(z 1)(23)ln(4)1/i z z ++-++点涡 2i[ln(z )ln(z )]3[ln(2)ln(2)]i i i z i z i ++-+++- 在22x y +《9226i[ln(z )ln(z )][ln(2)ln(2)]22i i i z i z i ππππ++-+++- 8π∴Γ=点源 224[ln(z )ln(z )][ln(2)ln(2)]22i i z i z i ππππ++-+++-121/Q z π=是偶极子无涡无源6.9直径为2m 的圆柱在水下10m 深处以速度10m/s 做水平运动（见题图6.9），水面大气压20101325/p N m =，水密度31000/kg m ρ=，不考虑波浪影响，试计算A 、B 、C 、D 四点压力。

解：22222220.5(14sin )A,0.5(14sin )249.4/B D 0.5(14sin )39.6/0.5(14sin )59.2/A C B D p p v g hC p v g h kN m v g h kN m p v g h kN m ρθρρθρρθρρθρ∞∞∞∞∞-=-+∆=-+∆==-+∆==-+∆=、对于点对于，点p6.10在题6.9中，圆柱在做水平运动的同时以60r/min 的角速度绕自身轴旋转，试决定驻点的位置，并计算B,D 的速度和压力。

解：222 6.2826.282sin 0.3144arcsin(0.314)198.3341.70.5[1(2sin )2105/0.5[1(2sin )2165/21/19/B D B D wds v aor p p v g h v akN m p p v g h v akN m v m s v m sππθπθρθρπρθρπ∞∞∞∞∞∞∞Γ==⨯⨯=-=-=-=Γ=+-++∆=-Γ=+-++∆==-=⎰6.11已知流函数225628100(1)ln ,25r y r r ψπ=-+= 试求：（1）组成此流动的基本流动；（2）驻点的位置；（3）绕物体的速度环量；（4）无限远处的速度；（5）作用在物体上的力。

解：（1）22236.3.725100(1)sin 25100(1)cos 252526285100(1)sin 100sin 2..r r r r v y r rv y r v y r r r rv v w i θθθθθθθπφ∂ψ==-∂=-⨯=-++ψ→→=+ψg g g公式（2）驻点 sin 0.1 5.74185.744or v aθθπ∞Γ=-=-∴=-（5）76.2810L v ρ∞=Γ=⨯6.12直径为0.6m 的圆柱以6m/s 的速度在静水作水平直线运动，同时绕自身轴旋转，每米长度上的升力是5.88kN ，试计算他的升力系数和转数。

解：2C 0.540.50.9816.5/min 2L Lv sL v w r sρρ∞∞===Γ⇒Γ=Γ==g 6.13如题图6.13所示，在（-2，1）点有一强度为Q 的点源，求第二象限直角流场中的复势。

解：00100120022220000ln()2[ln()ln(())]2x [ln()ln(())]2[ln()ln(())]ln()()22w z z Y w z z z z w z z z z z z z z z z z z θπθπθπθθππ=-⇒=-+--=-+--++++-=--源轴对称对轴对称w6.14求题图6.14所示点涡的轨迹，已知通过（2，2）点。

解:0222422222284AC AD AB AC AD AB w wv v v v v v x y ππππ⇒Γ===Γ++=∴+=r rrr r r点涡：6.19在深水处有一水平放置的圆柱体，半径为0.1m,每米长的重量为G=196N,如果垂直向下对每米长度圆柱作用力是F=392N,求圆柱的运动方程。

解：20020()5.472.73Gm kggF G F m aah h v t tλ==+-=+∴==++浮6.21如题图6.21所示，半径为R的二维圆柱体在无界流中绕O轴旋转，角速度为，同时又以角速度自转，假设缆绳长l>>R,圆柱体重为G,l流体密度为，求缆绳所受的力。

解：222222F=R/)2F2R/)G g lL v R w lF LF R w lG g lρπρπρπρρπ∞+Ω=Γ=Ω∴=-=Ω++Ωgg向向向心力（升力（习题八8.1证明()cos(())W A k id ctζζ=+-是水深为d的水域中行波的复势，其中x izζ=+，z轴垂直向上，原点在静水面，并证明2()gc th kdk=证：将x izζ=+代入原式()cos(())W A k id ctζζ=+-=cos(())A k x iz id ct++-cos(())A k x ctφ∴=-所以φ是行波的速度势22()kgthkdgc th kdkσ=∴=8.2 d=10m的等深度水域中有一沿x轴正向传播的平面小振幅波，波长L=10m,波幅A=0.1m,试求：（1）波速、波数、周期； （2）波面方程；（3）平衡位置在水面以下0.5m 流体质点的运动轨迹。