第四章 功与能一．选择题［ B ］1、（基础训练1）一质点在如图4-5所示的坐标平面内作圆周运动，有一力)(0j y i x F F+=作用在质点上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R ）位置过程中，力F 对它所作的功为(A) 20R F ． (B) 202R F ．(C) 203R F ． (D) 204R F ．【提示】0220000d 2RA F r F xdx F ydy F R =⋅=+=⎰⎰⎰［ C ］2、（基础训练3）如图4-6，一质量为m 的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为h 处，该物体从静止开始落向弹簧，若弹簧的劲度系数为k ，不考虑空气阻力，则物体下降过程中可能获得的最大动能是(A) mgh ． (B) kg m mgh 222-．(C) k g m mgh 222+． (D) kg m mgh 22+．【提示】 物体下降过程中合力为零时获得最大动能km E ，此时00, mgmg kx x k==； 根据机械能守恒，有：2001()2km mg h x E kx +=+［ B ］3、（基础训练6）一质点由原点从静止出发沿x 轴运动，它在运动过程中受到指向原点的力作用，此力的大小正比于它与原点的距离，比例系数为k ．那么当质点离开原点为x 时，它相对原点的势能值是(A) 221kx -． (B) 221kx ． (C) 2kx -． (D) 2kx ． 【提示】021()2p xE kx dx kx =-=⎰［ C ］4、（自测提高1）一个质点同时在几个力作用下的位移为：k j i r654+-=∆ (SI) 其中一个力为恒力k j i F953+--= (SI)，则此力在该位移过程中所作的功为(A)67 J ． (B) 17 J ． (C) 67 J ． (D) 91 J ．【提示】x y z A F r F x F y F z =⋅∆=∆+∆+∆恒力xyR O图4-5hm图4-6［ C ］5、（自测提高4）在如图4-16所示系统中（滑轮质量不计，轴光滑），外力F通过不可伸长的绳子和一劲度系数k ＝200 N/m的轻弹簧缓慢地拉地面上的物体．物体的质量M ＝2 kg ，初始时弹簧为自然长度，在把绳子拉下20 cm 的过程中，所做的功为（重力加速度g 取10 m/s 2） (A) 1 J ． (B) 2 J ． (C) 3 J ． (D) 4 J ． (E) 20 J ．【提示】（1）用力F下拉，则弹簧被拉伸，直到重物刚被提起，此时0mg kx =，弹簧拉伸了010mg x cm k==；在这一过程中，外力等于弹性力kx ，所以，外力的功为0210012x A kxdx kx ==⎰；（2）接着F继续下拉，弹簧不再继续拉伸，此时外力等于重力mg ，重物上升了201010h cm =-=，故外力做功为2A mgh =；（3）全过程中外力做功2120132A A A kx mgh J =+=+=[ B ］6、（自测提高7） 一水平放置的轻弹簧，劲度系数为k ，其一端固定，另一端系一质量为m 的滑块A ，A 旁又有一质量相同的滑块B ，如图4-19所示．设两滑块与桌面间无摩擦．若用外力将A 、B 一起推压使弹簧压缩量为d 而静止，然后撤消外力，则B 离开时的速度为(A) 0 (B) m k d2 (C) m k d (D) m kd 2 【提示】机械能守恒： ()2211222kd m v =二．填空题1、(基础训练7)已知地球质量为M ，半径为R ．一质量为m 的火箭从地面上升到距地面高度为2R 处．在此过程中，地球引力对火箭作的功为2 3GMmR-． 【提示】p 3GMm GMm A E R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-∆=---- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦保2、(基础训练12)一质点在二恒力共同作用下，位移为j i r83+=∆ (SI)；在此过程中，动能增量为24 J ，已知其中一恒力j i F3121-=(SI)，则另一恒力所作的功为 12J ．【提示】1224k A A A E J =+=∆=合，其中111233812A F r J =⋅∆=⨯-⨯=，故212A J =.图4-16图4-193、(基础训练13)劲度系数为k 的弹簧，上端固定，下端悬挂重物．当弹簧伸长x 0，重物在O 处达到平衡，现取重物在O 处时各种势能均为零，则当弹簧长度为原长时，系统的重力势能为20 kx ；系统的弹性势能为201 2kx -；系统的总势能为201 2kx ． （答案用k 和x 0表示）【提示】以原长为坐标原点O ’，向下作为x 轴正方向，如图。

重物在O 处达到平衡：0mg kx =，得：0mgx k=； 200Pmg E mgx kx == ，02001()2x p E kx dx kx =-=-⎰弹；总势能2012P Pmg P E E E kx =+=弹4、（自测提高10）一质量为m 的质点在指向圆心的平方反比力F =－k ／r 2的作用下，作半径为r 的圆周运动．此质点的速度v若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机械能E = 2kr-． 【提示】（1）根据法向方程：22n v kma m r r==，可求出v ；（2）势能：2p rr k k E F dr dr r r ∞∞⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰； 动能：2122k k E mv r ==； 机械能：k p E E E =+5、（自测提高15）一人站在船上，人与船的总质量m 1＝300 kg ，他用F ＝100 N 的水平力拉一轻绳，绳的另一端系在质量m 2＝200 kg 的船上．开始时两船都静止，若不计水的阻力则在开始拉后的前3秒内，人作的功为 375J ．【提示】22111111100, 3 1.5 ()22300F a s a t m m ===⨯⨯=， 22222211100, 3 2.25 ()22200F a s a t m m ===⨯⨯=；得： 12375A F s F s J =⋅+⋅=6、（自测提高16）光滑水平面上有一轻弹簧，劲度系数为k ，弹簧一端固定在O 点，另一端拴一个质量为m 的物体，弹簧初始时处于自由伸长状态，若此时给物体m 一个垂直于弹簧的初速度0v如图4-24所示，则当物体速率为21v 0时弹簧对物体的拉力 f=0 3 2km v． 【提示】机械能守恒：222001112222v mv m kx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，f kx =三．计算题1、（基础训练14）一人从10 m 深的井中提水．起始时桶中装有10 kg 的水，桶的质量为1 kg ，由于水桶漏水，每升高1 m 要漏去0.2 kg 的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为原点．由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量。

设M = 10kg ，m = 1kg ，(0.2)F m M y g =+-101010(0.2)(110.2)980A Fdy m M y gdy y gdy J ==+-=-=⎰⎰⎰2、（基础训练19） 如图4-13所示，一原长为0l 的轻弹簧上端固定，下端与物体A 相连，物体A 受一水平恒力F 作用，沿光滑水平面由静止向右运动。

若弹簧的倔强系数为k ，物体A 的质量为m ，则张角为 时 (弹簧仍处于弹性限度内)物体的速度v 等于多少解：由功能原理：F 所作的功等于系统机械能的改变。

220001102cos 2l Fl tg k l mv θθ⎡⎤⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得：200021cos l v Fl tg k l m m θθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3、（自测提高20）一半圆形的光滑槽，质量为M 、半径为R ，放在光滑的桌面上．一小物体，质量为m ，可在槽内滑动．起始位置如图4-27所示：半圆槽静止，小物体静止于与圆心同高的A 处．求： (1) 小物体滑到位置B 处时，小物体对半圆槽及半圆槽对地的速度各为多少(2) 当小物体滑到半圆槽最低点B 时，半圆槽移动了多少距离 (3) 小球在最低点B 处时，圆弧形槽对小球的作用力。

解：如图建立坐标系。

设相对于地面参考系，小物体和半圆槽在最低点B 处时的速度分别为v vi =，V Vi =-，M O RA CBm θ图4-2721v v =mm0vO（1). 以地面为参考系：小物体与光滑槽系统水平方向动量守恒；小物体、光滑槽及地球组成的系统的机械能守恒：0mv MV -=221122mv MV mgR += 小物体对半圆槽的速度：()()V v v vi Vi v V i =-=--=+对对对物槽物地槽地 解得：v =物槽对；V =.（2).以地面为参考系。

设: 槽移动了S 距离，小物体移动了s 距离。

水平方向动量守恒： 0x mv MV -= ，0ttxmv dt MVdt -=⎰⎰ ，即： 0ms MS -=又 s R S =- （R 为小物体相对槽移动的水平距离） 解得： mRS m M=+（3）以槽为参考系：小物体做圆周运动，在最低点： 2()v N mg mR-=物槽对；解得： (32)M m mgN M+=.4、（自测提高21）我国的第一颗人造地球卫星于1970年4月24日发射升空，其近地点离地面r 1=439 km ，远地点离地面r 2=2384 km 。

如果将地球看为半径为6378 km 的均匀球体，试求卫星在近地点和远地点的运动速率。

解：卫星的角动量守恒，卫星与地球系统的机械能守恒。

设地球半径为R ，则有()()1122mv r R mv r R +=+2212121122GMm GMm mv mv r R r R-=-++ 解得：v 1 = 8.11km/s, v 2 = 6.31km/s.5、（自测提高22）不可伸长的轻绳跨过一个质量可以忽略的定滑轮，轻绳的一端吊着托盘(如图)，托盘上竖直放着一个用细线缠缚而压缩的小弹簧，轻绳的另一端系一重物与托盘和小弹簧相平衡，因而整个系统是静止的。

设托盘和小弹簧的质量分别为m ’和m ，被细线缠缚的小弹簧在细线断开时在桌面上竖直上升的最大高度为h 。

现处于托盘上的小弹簧由于缠缚的细线突然被烧断，能够上升的最大高度是多大解：设：线断开时左边重物（'m m +）与右边托盘（'m ）运动速度为V ，弹簧速度为v ，能上升的最大高度为H系统的角动量守恒，系统的机械能守恒。

设滑轮半径为R0(2)m m VR mvR '=+-2211(2)22mgh mv m m V '=++22v H g=解得：(2)2()m m hH m m '+='+四. 附加题：（基础训练18） 半径为R ，质量为m ’，表面光滑的半球放在光滑水平面上，在其正上方放一质量为m 的小滑块。