第一节集合
一、选择题
1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
解析不等式(x－1)2<4等价于－2<x－1<2，得－1<x<3，故集合M＝{x|－1<x<3}，则M∩N＝{0,1,2}．故选A.
答案 A
2．(2013·福建卷)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为()
A．2 B．3
C．4 D．6
解析A∩B＝{1,3}，子集有n＝22＝4个．
答案 C
3．(2013·江西卷)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()
A．4 B．2
C．0 D．0或4
解析当a＝0时，原方程为0x＋1＝0，无实数解；当a≠0时，依题意得Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)，或a＝4.故选A.
答案 A
4．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝()
A ．{5,8}
B ．{7,9}
C ．{0,1,3}
D ．{2,4,6}
解析 因为A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7,9}．
答案 B
5．设S ＝{x |x <－1，或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )
A ．(－3，－1)
B ．[－3，－1]
C ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(－1，＋∞) 解析 在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，由图可得
⎩⎪⎨⎪⎧
a <－1，a ＋8>5，
解得－3<a <－1.
答案 A
6．(2014·大连模拟)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩∁I M ＝∅，则M ∪N 等于( )
A ．M
B ．N
C ．I
D ．∅
解析 由N ∩(∁I M )＝∅知N ⊆M ，又M ≠N ， ∴M ∪N ＝M . 答案 A 二、填空题
7．(2014·杭州模拟)设全集U ＝{－1,0,1,2,3,4}，∁U M ＝{－1，1}，N ＝{0,1,2,3}，则集合M ∩N ＝________.
解析 ∵∁U M ＝{－1,1}，∴M ＝{0,2,3,4}． ∴M ∩N ＝{0,2,3}． 答案 {0,2,3}
8．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.
解析 ∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}． 又A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}＝{0，－m }， ∴－m ＝3，∴m ＝－3. 答案 －3
9．(2014·济南模拟)设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．
解析 ∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.
答案 7 三、解答题
10．若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b .
解 ∵A ＝B ，∴B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}＝{－1,3}．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－a ＝－1＋3＝2，b ＝(－1)×3＝－3.∴a ＝－2，b ＝－3. 11．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求
适合下列条件的a 的值．
(1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .
解 (1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ， ∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3. 经检验a ＝5或a ＝－3符合题意． ∴a ＝5或a ＝－3.
(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ， 由(1)知a ＝5或a ＝－3.
当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 此时A ∩B ＝{9}；
当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}， 此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意． ∴a ＝－3.
12．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．
(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m －2＝0，
m ＋2≥3，∴m ＝2.
(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，
因此实数m的取值范围是{m|m>5或m<－3}．。