第十一章 弹性波
概述 §1-1 弹性体的运动微分方程 §11-2 无旋波与等容波 §11-3 横波与纵波 §11-4 球面波
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概述
当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时，并不是在 弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用 开始时，距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰。在作用 开始后，荷载所引起的位移、形变和应力，就以波动的形式 用有限大的速度向别处传播。这种波动就称为弹性波。
2u t 2
c222u
2
t 2
c222
2w t 2
c222w
其中
c2
E
2(1 )
c 2 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。
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对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论： 在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相 同的方式与速度进行传播。
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§11-3 纵波与横波
一、纵波 [定义] 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示）
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这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称 为拉密（Lame)方程。
要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外， 由于位移分量还是时间变量的函数，因此求解动力问题 还要给出初始条件。
为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运 动微分方程简化为：
t2u 2 2(1 E)(112 x e2u)
2u x2
其中
c1
(1)E (1)(12)
c 1 为纵波在弹性体中的传播速度。
显然纵波的传播速度与无旋波相同。事实上，纵波就是 一种无旋波。
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纵波波动方程的通解是：
u (x ,t) f1 (x c 1 t)项为例，函数 f1(xc1t)在某
所谓等容波是指在弹性体内，波动所产生的变形中体积应 变为零 。即弹性体中任一部分的容积（即体积）保持不变。
假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件，即：
euw0
x y z
这种位移称为等容位移。而相应于这种位移状态的弹性 波就是等容波。
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由于 e0 ，故不计体力的运动微分方程，简化后得等
容波的波动方程：
2 t2 2(1 E)(112 y e2)
2 t 2 2(1 E)(112 e z2w)
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§11-2 无旋波与等容波
一、无旋波
所谓无旋波是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋 转，即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。
假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为：
u
x
y
w
euw2
x y z
从而 e222u
x x
x
同理 e 2
y
e 2w z
将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后 得无旋波的波动方程
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2u t 2
c122u
2
t 2
c122
2w t2
c122w
E(1) 其中 c1 (1)(12)
c 1 就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度
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二、等容波
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对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了 考虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加 速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空 间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为:
2u t 2
2 t 2
其中ρ为弹性体的密度。
2w t 2
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由平衡关系，并简化后得：
xx yyx zzxX t2u 20
纵波的传播形式
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将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位移 分量都有：
uu(x,t) 0 w0
从而 而
e u x
e x
2u x 2
2u 2u x 2
e 0 y
2 0
e 0 z
2w0
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代入不计体力的运动微分方程，可见其第二、第三式成为 恒等式，而第一式简化为：
2u t 2
c12
z
其中 (x,y,z,t)是位移的势函数。这种位移称为无旋位
移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波。
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[证]：在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量
z
x
u y
将 u 代入，可得：
x
y
z 0
同理
x 0
y 0
即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。
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在无旋位移状态下
yy zzy xxyY 2 t2 0 zz xxz yyzZ 2 tw 2 0
上式称为弹性体的运动微分方程。它同几何方程和物理方程 一起构成弹性力学动力问题的基本方程。
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注1：几何方程
x
u x
y
y
z
w z
yz
w y
z
zx
u z
w x
xy
x
u y
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注2：物理方程
x E 1[x(yz)]
yz 2(1E)yz
y E 1[y(z x)]
zx 2(1E)zx
z E 1[z(xy)]
xy2(1E)xy
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由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹 性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移 分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令：
eu w
x y z
得：
2(1E )(1 1 2 x e 2u)X t2u 20 2(1E )(1 1 2 y e 2 )Y 2 t20 2 (1 E )(1 1 2 e z 2w )Z 2 tw 20
本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程，然后 介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运动微分方 程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。
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§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设： （1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用 于讨论动力问题的任一瞬时，所不同的仅仅在于，静力 问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。
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同理 f2(xc1t)，表示以同样速度 c 1 向x轴负向传播的波。
整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波（如图b），其
传播速度为波动方程的系数 c 1 。
f1
b
a c1t
c
x
(a)
c1 t
c1 t
(b)
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二、横波 [定义] 弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。
一个固定时刻将是x的函数，可以用图(a)中的曲线abc表示
（假设是这种形状），在 t 时间之后，函数变为：
f1(xc1tc1t)
如果令 x1xc1t，则函数可写为 f1(x1c1t)，其形式 同原函数 f1(xc1t)完全类同，只是横坐标发生平移 c1t 见图。因此 f1(xc1t)表示以速度c 1 向x轴正向传播的波。