第三讲 函数连续与导数一、一点连续的定义1、 设f 在某0()U x 内有定义且00lim ()()x x f x f x →=，则称f 在0x 连续；2、 设f 在某00()(())U x U x +-内有定义且0000()()(()())f x f x f x f x +=-=，则称f 在0x 右（左）连续；3、 f 在0x 连续000,0:|||()()|x x f x f x εδδε⇔∀>∃>-<⇒-<； f 在0x 右连续000,0:(,)|()()|x U x f x f x εδδε+⇔∀>∃>∈⇒-<； f 在0x 左连续000,0:(,)|()()|x U x f x f x εδδε-⇔∀>∃>∈⇒-<.4、00000(,)(,)lim ()lim sup(),lim ()lim inf()x x x U x x x x U x f x f x f x f x δδδδ→→+→+∈→∈==；00,(,)()lim ()lim ()limsup (()())f x x x x x x U x x f x f x f x f x δδω→→+'→∈'=-=-；f 在0x 连续0()0f x ω⇔=.5、 间断点：1） 第一类间断点：可去间断点：00lim ()()x x f x f x →≠；跳跃间断点00()()f x f x +≠-；2） 第二类间断点：0()f x +与0()f x -至少有一个不存在. 二、性质：1、 局部有界性：2、 局部保号性：3、 四则运算：4、 复合函数连续性：若f 在0x 连续，g 在00()u f x =连续，则g f 在0x 连续.5、 区间上的单调函数只有跳跃间断点.三、区间上连续函数及性质1、 若函数f 在区间I 上的每一点都连续（对于区间端点单边连续），则称f 为区间I 上的连续函数。

2、 闭区间上连续函数的性质：1）(最大与最小值定理)若([,])f C a b ∈,则f 在[,]a b 上有最大与最小值. 2）(有界性定理) 若([,])f C a b ∈,则f 在[,]a b 上有界. 3）（介值定理）若([,])f C a b ∈，则([,])f a b 为闭区间. 4）（反函数的连续性）若f 在[,]a b 上严格单调且连续，则1f -在闭区间([,])f a b 上连续.四、一致连续1、设f 定义在区间I 上，若0,0,εδ∀>∃>当,,||x x I x x δ''''''∈-<时，有|()()|f x f x ε'''-<，则称f 在区间I 上一致连续.2、0,(,,)sup{()()|,,||}I f f x f x x x I x x δωδδ'''''''''>=-∈-<，则f 在区间I 上一致连续0lim (,,)0I f δωδ→+⇔=.3、f 在区间I 上不一致连0l i m (,,)0,n n I f x y I δωδ→+⇔>⇔∃∈使得||n n x y -→，inf |()()|0n n nf x f y ->4、f 在区间I 上一致连续0,0N ε⇔∀>∃>，当()(),,f x f y N x y I x y->∈-时，有|()()|f x f y ε-<.证明: 必要性:设f 在区间I 上一致连续, 则0,0,εδ∀>∃>当,,||x x I x x δ''''''∈-<时，有|()()|f x f x ε'''-<,从而当|()()|f x f x ε'''-≥时,必有||x x δ'''-≥. 令2N εδ=.则当()(),,f x f y N x y I x y->∈-时，有|()()|f x f y ε-<.若不然, ()(),,,f x f y x y I N x y-∃∈>-但|()()|f x f y αε=-≥,因此||x y δ-≥. 取整数1k >,使得(1)k k εαε-≤<,令1k αβ=-,则2εβε≤<.不妨设()()()f x f y x y <<,这时()()()(1).f y f x f x k αβ=+=+-由()()()f x f x f y β<+≤,则由介值性定理,11(,]:()()x x y f x f x β∃∈=+.类似2121(,]:()()x x y f x f x β∃∈=+.如此下去得011k x x x x y -=<<<= ,1()()()i i f x f x f x i ββ-=+=+,1,,1i k =- .于是1i i x x δ--≥,从而()()()()(1)2(1)f x f y f y f x k N x y y x k βεδδ---=≤<=---,矛盾.充分性: 设0,0N ε∀>∃>，当()(),,f x f y N x y I x y->∈-时，有|()()|f x f y ε-<.取N εδ=,若|()()|f x f y ε-≥,则()()f x f y N x y -≤-,从而|||()()|()()x y x y f x f y f x f y Nεδ--=-≥=-.5、（一致连续性定理）若([,])f C a b ∈,则f 在[,]a b 上一致连续.6、((,))f C a b ∈，则f 在(,)a b 上一致连续(),()f a f b ⇔+-都存在([,])F C a b ⇔∃∈使得()(),(,f x F x xa b=∈. 证明: 必要性:设f 在(,)a b 上一致连续,则0,0,εδ∀>∃>当,,||x x I x x δ''''''∈-<时，有|()()|f x f x ε'''-<,从而当,(,)x x a a δ'''∈+时,有|()()|f x f x ε'''-<,由Cauchy 准则()f a +存在,类似可得()f b -存在.充分性:设((,))f C a b ∈,(),()f a f b +-存在,0,0,,(,2),(2,)x x a a x x b b εδδδ'''''''''∀>∃>∈+∨∈-时有|()()|f x f x ε'''-<.由f 在[,]a b δδ''+-上一致连续,所以0,,δδδ'∃><当,[,]x x a b δδ'''''∈+-,||x x δ'''-<时有|()()|f x f x ε'''-<,从而当,(,)x x a b '''∈,||x x δ'''-<时有|()()|f x f x ε'''-<.即f 在(,)a b 上一致连续.7、若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证：xx f )(在),1[+∞上有界. (华东师大04) 证明: 由函数)(x f 在),1[+∞上一致连续,所以0,δ∃>当,[1,),||2x x x x δ''''''∈+∞-<时,有|()()|1f x f x '''-<,对1x >,有1111x x x δδδ---⎡⎤⎡⎤≤<+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,令1x n δ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则11n x n δδδ+≤<++,有1()[((1))()]()nk f x f x k f x k f x n δδδ==----+-∑,故11|()|max |()|t f x n f t δ≤≤+≤+,令11max |()|t M f t δ≤≤+=,()11f x n M x x x δ≤+≤+.五、初等函数在其定义区间上连续.六、举例：1、设([,))f C a ∈+∞且lim ()x f x →+∞存在，则f 在[,)a +∞上一致连续。

(1sinx在(0,1]有界连续,但不一致连续.x 在[,)a +∞上一致连续,2sin22=-) 2、设([0,1])f C ∈，(0)(1)f f -，则,[0,1]n ξ∀∃∈，使得1()().f f n ξξ+=证明：当1n =时，取0ξ=. 当1,n >令1()()()F x f x f x n =+-,则1([0,1])F C n∈-,且111[(0)()(1)]0F F F n n n +++-= ,所以110101min ()0max ()x x nnF x F x ≤≤-≤≤-≤≤.3、 设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。

证明)(x f 在),(b a 一致连续.（北大05）4、 设实函数f 在[0,+∞]上连续,在(0,+∞)内处处可导且lim x →∞A x f =)(' (存在).证明:当且仅当A<+∞时,f在[0,+∞)上一致连续.(清华99)证明: 当A <+∞时,则0,M ∃>当x M >时,|()|1f x A '<+,从而f 在(,)M +∞上一致连续.又f 在[0,]M 上一致连续.故f 在[0,)+∞上一致连续.反之若f 在[0,)+∞上一致连续,则0,δ∃>当,[0,),||x x x x δ''''''∈+∞-<时,有|()()|1f x f x '''-<,从而[,],1|()()||()|222n n x n n f n f n f x δδδ'∃∈+>-+=,故2lim |()|lim |()|n x n A f x f x δ→+∞→∞''==≤.5、 证明函数()f x x =在[1,)∞上一致连续. （北大01）证明: ()0()f x x '=→→+∞. 6、 函数()f x 在[,]a b 上一致连续，又在[,]b c 上一致连续，a b c <<，用定义来证明()f x 在[,]a c 上一致连续. （北大00）7、 设((,))f C a b ∈，若存在lim ()0,lim ()0x a x b f x A f x B →+→-=<=>，则必存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=.（北大99）8、 函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞→ 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值.(华东师大04)9、 若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证：xx f )(在),1[+∞上有界. (华东师大04) 证明: 由函数)(x f 在),1[+∞上一致连续,所以0,δ∃>当,[1,),||2x x x x δ''''''∈+∞-<时,有|()()|1f x f x '''-<,对1x >,有1111x x x δδδ---⎡⎤⎡⎤≤<+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,令1x n δ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则11n x n δδδ+≤<++,有1()[((1))()]()nk f x f x k f x k f x n δδδ==----+-∑,故11|()|max |()|t f x n f t δ≤≤+≤+,令11max |()|t M f t δ≤≤+=,()11f x n M x x x δ≤+≤+. 10、设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导，'()f x K ≤ （K 为正常数），(,)x a b ∈证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续. (华东师大00)11、设f 在(0,1]上连续，在(0,1)上可导，且0(0,1),lim ()x x f x αα→+'∃∈存在，证明f 在(0,1]上一致连续.(北师大04)证明:,设0lim ()x x f x A α→+'=.1) 当0A >时, 只要证明(0)f +存在,由0lim ()x x f x A α→+'=, 则0,δ∃>当(0,)x δ∈时()0f x '>,且|()|1x f x A α'≤+,从而()f x 在(0,)δ上严格增, 当12nδ<时,存在11122n n n ξ+<<,11111()()()222n n n n f f f ξ++'-=1()2n n n n f ααξξξ+'=11(2)(1)()2n n A α++≤+ 111(1)2n A α+-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,故正项级数1111[()()]22n n n f f ∞+=-∑收敛,于是1lim ()2n n f →∞存在,由单调收敛原理得(0)f +存在. 2) 当0A <时,由1)知f -在(0,1]上一致连续,从而f 在(0,1]上一致连续. 3) 当0A =时,10lim [()]10x x f x xααα-→+'+=->,由1)1()f x x α-+ 在(0,1]上一致连续.又因为1x α-在(0,1]上一致连续,故f 在(0,1]上一致连续.12、设f 在[,]a b 上定义，且[,],lim ()t xx a b f t →∀∈存在（,x a b =时为单侧极限），证明f 在[,]a b 上有界. (北师大03)证明: 用反证法.若f 在[,]a b 上无界,则[,],lim |()|n n n x a b f x →∞∃∈=+∞,不妨lim ()n n f x →∞=+∞.由致密性定理{}n x 有收敛子列,不妨{}n x 收敛,lim [,]n n x x a b →∞=∈,这与lim ()t xf t →存在矛盾.13、设f 在[,)a b 上连续，无上界且对任意(,)[,)c d a b ⊂，f 在(,)c d 上不取最小值.证明f 在[,)a b 上严格增.证明: 用反证法.若a x y b ∃≤<<,使得()()f x f y ≥.由f 无上界,则存在y d b <<使得()()f d f y >,于是f 在(,)x d 上取最小值.这与题设矛盾.14、设f 在[,)a +∞上一致连续，ϕ在[,)a +∞上连续，且lim[()()]0x f x x ϕ→∞-=.证明ϕ在[,)a +∞上一致连续.15()[,][,]()inf ().()[,]a t xf x a b x a b m x f t m x a b ≤≤∈=设在上连续，对，定义证明：在上连续.(大连理工04)证明:0[,]x a b ∈,0,0,εδ∀>∃>当00(,)x x x δδ∈-+时,有00()()()f x f x f x εε-<<+.下证()m x 在0x 右连续,00x x x δ<<+,00()()()inf ()a t xf x m x m x f t ≤≤≥≥=00()inf ()x t xm x f t <≤=∧00()(())m x f x ε≥∧-, 从而00()()m x m x ε≤-<.16、3'20()(0,1]lim ():()(0,1].x f x x f x f x →+设在上连续，可导，并且存在。