第五章习题答案选择题（单选题）5.1 速度v ，长度l ，重力加速度g 的无量纲集合是：（b ）（a ）lv g ；（b ）v gl ；（c ）l gv ；（d ）2v gl。

5.2 速度v ，密度ρ，压强p 的无量纲集合是：（d ）（a ）pv ρ；（b ）v p ρ；（c ）2pv ρ；（d ）2p v ρ。

5.3 速度v ，长度l ，时间t 的无量纲集合是：（d ）（a ）v lt ；（b ）t vl ；（c ）2l vt ；（d ）lvt。

5.4 压强差p ，密度ρ，长度l ，流量Q 的无量纲集合是：（d ）（a ）2Qpl ρ；（b ）2lpQ ρ；（c ）plQρ；（d 2Qp l ρ。

5.5 进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：（b ）（a ）雷诺准则；（b ）弗劳德准则；（c ）欧拉准则；（d ）其他。

5.6 进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：（a ）（a ）雷诺准则；（b ）弗劳德准则；（c ）欧拉准则；（d ）其他。

5.7 雷诺数的物理意义表示：（c ）（a ）粘滞力与重力之比；（b ）重力与惯性力之比；（c ）惯性力与粘滞力之比；（d ）压力与粘滞力之比。

5.8 明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型流量应为原型流量的：（c ）（a ）1/2；（b ）1/4；（c ）1/8；（d ）1/32。

5.9 压力输水管模型实验，长度比尺为8，模型水管的流量应为原型输水管流量的：（c ）（a ）1/2；（b ）1/4；（c ）1/8；（d ）1/16。

5.10 假设自由落体的下落距离s 与落体的质量m 、重力加速度g 及下落时间t 有关，试用瑞利法导出自由落体下落距离的关系式。

解： ∵s Km g t αβγ=[]s L =；[]m M =；[]2g T L -=；[]t T =∴有量纲关系：2L M TL T αββγ-=可得：0α=；1β=；2γ= ∴2s Kgt =答：自由落体下落距离的关系式为2s Kgt =。

5.11水泵的轴功率N 与泵轴的转矩M 、角速度ω有关，试用瑞利法导出轴功率表达式。

解： 令N KM αβω=量纲：[]21N MLT LT --=；[]22M ML T-=；[]1T ω-=∴2322ML T M L T T αααβ---=⋅ 可得：1α=，1β=∴N KM ω=答：轴功率表达式为N KM ω=。

5.12水中的声速a 与体积模量K 和密度ρ有关，试用瑞利法导出声速的表达式。

解： a K αβμρ=量纲：[]1a LT -=；[]12K ML T--=；[]3ML ρ-=∴有 123LTM L T M L αααββ----=13120αβααβ=--⎧⎪-=-⎨⎪=+⎩ ⇒ 1212αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴a =其中μ为无量纲系数。

答：声速的表达式为a =5.13受均布载荷的简支梁最大挠度max y 与梁的长度l ，均布载荷的集度q 和梁的刚度EI 有关，与刚度成反比，试用瑞利法导出最大挠度的关系式。

解： maxkl qy EIαβ= k 为系数。

量纲：[]max y L =；[]l L =；[]2q MT -=；[]4I L =；[]12E ML T--=∴有232L M T L ML T αββ--=可得：4α=，1β= ∴4maxkl qy EI=答：最大挠度的关系式为4maxkl qy EI=。

5.14薄壁堰溢流，假设单宽流量q 与堰上水头H 、水的密度ρ及重力加速度g 有关，试用瑞利法求流量q 的关系式。

解： q kg H αβγρ=量纲：[]21q L T-=；[]2g LT-=；[]H L =；[]3ML ρ-=故有 2123L TL T M L L ααββγ---=23120αβγαβ=-+⎧⎪-=-⎨⎪=⎩ ⇒ 1232αγ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴32q H ==答：流量q的关系式为32q H ==。

5.15已知文丘里流量计喉管流速v 与流量计压强差p ∆、主管直径1d 、喉管直径2d 、以及流体的密度ρ和运动黏度ν有关，试用π定理证明流速关系式为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=12Re,d d p v ϕρ 证明： ()12,,,,v f p d d ρν=∆选择基本量 2,,p d ρ∆ 则：11112vp d αβγπρ=∆22222p d αβγνπρ=∆333132d p d αβγπρ=∆解得：111111231LT M L T L M L αααβγγ----=11111113120αβγααγ=-+-⎧⎪-=-⎨⎪=+⎩ ⇒ 11112012αβγ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩222222222222233221L T M L T L M L M L T αααβγγαγαβγα---+-+---==∴212α=，21β=，212γ=-33333332L M L T αγαβγα+-+--=∴30α=，31β=，30γ=∴()123,πφππ=12d v d φ⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪⎭5.16球形固体颗粒在流体中的自由降落速度f u 与颗粒的直径d 、密度s ρ以及流体的密度ρ、动力黏度μ、重力加速度g 有关，试用π定理证明自由沉降速度关系式gdd u f u f s f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=μρρρ,证明： ∵(),,,,f s u f d g ρρμ=取基本量为 ,,d g ρ则：1111f u d g αβγπρ=；2222sd g αβγρπρ=；3333d g αβγμπρ=量纲关系：111111231LT L L T M Lαββγγ---= 1111113120αβγβγ=+-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩ ⇒ 11112120αβγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩222223231MLL L T M L αββγγ---= ⇒ 222001αβγ=⎧⎪=⎨⎪=⎩3333311231ML T L L T M L αββγγ----= ⇒ 33332121αβγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩33313αβγ-=+-∴ ()123,fπππ=即3122,sf u dg ρμρρ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭,s f u d ρμρρ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,Re s fρρ⎛⎫= ⎪⎝⎭5.17圆形空口出流的流速v 与作用水头H 、空口直径d 、水的密度ρ和动力黏度μ、重力加速度g 有关，试用π定理推导空口流量公式。

解： ∵(),,,,v f H d g ρμ=取基本量为 ,,H g ρ 则：1111v H g αβγπρ=；2222dH g αβγπρ=；3333H g αβγμπρ= ∴有量纲关系：111111231LT L L T M L αββγγ---= ⇒ 11111,,022αβγ=== 22222231LL L T M L αββγγ--= ⇒ 2221,0,0αβγ===3333311231ML T L L T M L αββγγ----= ⇒ 33331,,122αβγ=== ∴ ()123,fπππ=即 3122,d v H H g μρ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭1,d H vH μρ⎛⎫=⎪⎝⎭1,Re H d H ⎛⎫= ⎪⎝⎭可见，孔口出流的流速系数与dH及Re H 有关。

1,Re H d Q vA H ⎛⎫==⎪⎝⎭答：空口流量公式为1,Re H d Q H ⎛⎫=⎪⎝⎭。

5.18用水管模拟输油管道。

已知输油管直径500mm ，管长100mm ，输油量0.1s m/3，油的运动黏度为150×10-6s m /2。

水管直径25mm ，水的运动黏度为1.01×10-6s m /2。

试求：（1）模型管道的长度和模型的流量；（2）如模型上测得的压强差m g )/(ρρ∆=2.35cm水柱，输油管上的压强差p g )/(ρρ∆是多少？解： 5002025l λ==；6615010148.5151.0110νλ--⨯==⨯ 以雷诺数准则设计实验。

Re p Mvd vd νν⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴1207.4261148.515p M pv MM pv d d v λνν====10020p MML L L == ∴5M L =（m ） 22227.426202970.4p p pv l MM MQ v d Q v dλλ⋅==⋅=⨯=⋅∴0.034M Q =（l/s ） ∵222p Mp p p E v v v ρρρ⎛⎫⎛⎫∆∆∆=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴222ppv MMp g v vp g ρλρ⎛⎫∆ ⎪⎝⎭==⎛⎫∆ ⎪⎝⎭∴227.426 2.35 1.30v p Mp p g g λρρ⎛⎫⎛⎫∆∆==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（m ）答：（1）模型管道的长度5M L =m ，模型的流量0.034M Q =L/s ；（2）如模型上测得的压强差m g )/(ρρ∆=2.35cm 水柱，输油管上的压强差 1.30pp g ρ⎛⎫∆=⎪⎝⎭m 。

5.19为研究输水管道上直径600mm 阀门的阻力特性，采用直径300mm ，几何相似的阀门用气流做模型实验。

已知输水管道的流量为0.283s m /3，水的运动黏度为ν=1×10-6s m /2，空气的运动黏度为a ν=1.6×10-5s m /2。

试求模型的气流量。

解： 以雷诺准则，则有 Re p Mvd vd νν⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴65510 1.610160032v l νλλλ--⨯⨯===22112328p p p Q v l MM MQ v A Q v A λλλ===⋅=⨯= 0.2832.26418M QQQ λ===（m 3/s ） 答：模型的气流量 2.264M Q =m 3/s 。

5.20 为研究汽车的动力特性，在风洞中进行模型实验。

已知汽车高p h =1.5m ，行车速度p v =108h km /，风洞风速a ν=45s m /，测得模型车的阻力m p =1.4kN ，试求模型车的高度m h 及汽车受到的阻力。

v解： ∵10810001360045 1.5p v Mv v λ⨯===()()222222p pp v l MMMv A p A p p p A v A ρλλρ⎛⎫⋅ ⎪∆⋅⎝⎭===⋅∆⋅⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭风洞实验可选用雷诺准则，即 Re p Mvd vd νν⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵p M νν= ∴11.5l vλλ==∵ 1.51.01.5pm h h λ===（m ） 2222115 1.415p v l M M p p p λλ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭（kN ）另：∵6530 1.5Re 2.8101.610p vd ν-⨯⎛⎫===⨯⎪⨯⎝⎭，在阻力平方区。